Золотое сечение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Иррациональные числа
γζ(3) — 2 — 3 — 5 — φ — α — e — π — δ
Иллюстрация к определению.

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — соотношение двух величин, равное соотношению их суммы к большей из данных величин. Приблизительная величина золотого сечения равна 1,6180339887. В процентном округлённом значении — это деление величины на 62 % и 38 % соответственно.

С математической точки зрения, отношение большей части к меньшей в золотом сечении выражается квадратичной иррациональностью

Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон a/b=(a+b)/a
\varphi = \frac{\sqrt5+1}2=1{,}6180339887\dots

и, наоборот, отношение меньшей части к большей

\frac1\varphi=\frac{\sqrt5-1}2=0{,}6180339887\dots

Число \varphi называется также золотым числом.

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, называл это отношение «божественной пропорцией». Термин «золотое сечение» (goldener Schnitt) был введён в обиход Мартином Омом в 1835 году.

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но кроме того ему приписывают и многие вымышленные свойства[1][2][3].

Математические свойства[править | править вики-текст]

Золотое сечение в пятиконечной звезде
Построение золотого сечения
  • \varphi представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:
    \varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}}}.
подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи \frac{F_{n+1}}{F_n}. Таким образом,
  • В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении (на приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны \varphi. Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между соседними вершинами звезды (которое равно зелёному отрезку), также равно \varphi).
  • Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка AB можно построить следующим образом: в точке B восстанавливают перпендикуляр к AB, откладывают на нём отрезок BC, равный половине AB, на отрезке AC откладывают отрезок CD, равный BC, и наконец, на отрезке AB откладывают отрезок AE, равный AD. Тогда
\varphi=\frac{|AB|}{|AE|}=\frac{|AE|}{|EB|}.
  • Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.
  • При делении пополам угла между диагональю и меньшей стороной прямоугольника с отношением сторон 1:2 получаем число 1/φ = tg1/2arctg2.

Золотое сечение и гармония в искусстве[править | править вики-текст]

Под «правилом золотого сечения» в архитектуре и искусстве обычно понимаются композиции, содержащие пропорции, близкие к золотому сечению.

Некоторые из утверждений в доказательство гипотезы знания древними правила золотого сечения:

  • Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.
  • Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. и т. п.

При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0 и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2:3), размеры кино- и телевизионных экранов — например, 4:3 или 16:9) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми»[источник не указан 1878 дней].

Соотношение длин частей человеческого тела, которому также часто приписывают пропорции «золотого сечения», в большинстве случаев отличаются от такового.

Примеры сознательного использования[править | править вики-текст]

Золотое сечение и зрительные центры

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения». Российский зодчий Жолтовский использовал золотое сечение в своих проектах[4]. Также золотое сечение применялось при строительстве пирамиды Хеопса в древнем Египте.[источник не указан 399 дней]

Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм «Броненосец Потёмкин» по правилу золотого сечения, разбив ленту на пять частей (в первых трёх действие развивается на корабле, в двух последних — в Одессе), где переход в город происходит точно в точке золотого сечения.[источник не указан 654 дня]

Геометрия плана гробницы фараона Древнего Египта Менеса построена с использованием пропорции, которую мы сейчас связываем с золотым сечением[5]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Радзюкевич А. В. Красивая сказка о «золотом сечении»
  2. Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World’s Most Astonishing Number
  3. Devlin’s Angle, The Myth That Will Not Go Away
  4. Золотой запас зодчества
  5. Стеликов Н. Е. «Гармония древнеегипетской архитектуры.» Горки: БГСХА. 2009, 108 с.

Литература[править | править вики-текст]

  • Бендукидзе А. Д. Золотое сечение «Квант» № 8, 1973
  • Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238[2]c. — (Эврика).
  • Шмигевский Н. В. Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С.2-7.
  • Сабанеев Л. Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2-3. — С. 32-56.

Ссылки[править | править вики-текст]