Золотое сечение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон

Золото́е сече́ние (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.

Отношение частей в этой пропорции выражается квадратичной иррациональностью

$\varphi = \frac{ \sqrt{5}+1}{2} \approx 1{,}6180339887\dots$

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, называл это отношение «божественной пропорцией». Термин «золотое сечение» (goldener Schnitt) был введён в обиход Мартином Омом в 1835 году.

[править] Математические свойства

Золотое сечение в пятиконечной звезде

$\varphi$ — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения

$\varphi^2 = \varphi + 1.$

$\varphi$ представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:

$\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}.$

$\varphi\;$ представляется в виде бесконечной цепной дроби

$\varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1+\,\cdots}}},$

подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ . Таким образом, $\varphi = \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$ .

Построение золотого сечения

В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении (на приведённом рисунке отношение красного отрезка к синему, также как синего к зелёному, также как зелёного к фиолетовому, равны $\varphi$ ).

Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка $A B$ можно построить следующим образом: в точке $B$ восстанавливают перпендикуляр к $A B$ , откладывают на нём отрезок $B C$ , равный половине $A B$ , на отрезке $A C$ откладывают отрезок $A D$ , равный $A C - C B$ , и наконец, на отрезке $A B$ откладывают отрезок $A E$ , равный $A D$ . Тогда

$\varphi=\frac{|AB|}{|AE|}=\frac{|AE|}{|EB|}.$

[править] Золотое сечение и гармония в искусстве

Принято считать, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона якобы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.

Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. Древнеегипетский зодчий Хесира, вырезанный на деревянной доске, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого сечения. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. и т. п.

Золотое сечение и зрительные центры

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения». Российский зодчий Жолтовский также использовал золотое сечение в своих проектах^[1].

Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм «Броненосец Потёмкин» по правилам золотого сечения. Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие разворачивается на корабле. В двух последних — в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Эйзенштейн считал, что, так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

Другим примером использования правила «золотого сечения» в киноискусстве служит расположение основных компонентов кадра в особых точках — «зрительных центрах». Часто используются четыре точки, расположенные на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краёв плоскости.

[править] Критика

Ко всем этим утверждениям следует относиться с осторожностью, поскольку во многих случаях это может оказаться результатом подгонки или совпадения. Есть основание считать, что значимость золотого сечения в искусстве, архитектуре и в природе преувеличена и основывается на ошибочных расчётах. ^[2]

При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0 и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2 : 3), размеры кино- и телевизионных экранов — например, 3:4 или 9:16) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми».

[править] См. также

[править] Источники

[править] Ссылки

В. С. Белянин, "Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа"
А. Д. Бердукидзе, Золотое сечение Квант № 8, 1973.
О. Н. Калюжный, Асимметричная рефлексия, Золотая Пропорция и алгоритм «Вальс»
В. Лаврус, Золотое сечение
Золотое сечение, как корень квадратного уравнения
А. В. Радзюкевич Красивая сказка о золотом сечени
А. В. Радзюкевич Знал ли Леонардо да Винчи «код да Винчи»?
А. И. Щетников Золотое сечение в «древней» и в «новой» эстетике.
Музей Гармонии и Золотого Сечения
Институт Золотого Сечения
Применение Золотого сечения в Web
PyramidG программа для рассчета параметров пирамид золотого сечения

[0] Золотой запас зодчества

[1] Радзюкевич А.В. Красивая сказка о «золотом сечении»

[1]

[2]

п·о·р Числа с собственными именами
Вещественные	Золотое сечение \| e (число Эйлера) \| Пи \| Число Скьюза
Натуральные	Чёртова дюжина \| Число зверя \| Число Рамануджана — Харди
Степени десяти	Мириада \| Гугол \| Асанкхейя \| Гуголплекс
Степени тысячи	Тысяча \| Миллион \| Миллиард \| Биллион \| Триллион … \| … Центиллион \| Зиллион
Степени двенадцати	Дюжина \| Гросс \| Масса
Литературные меры счёта	Доцанд \| Мириад

Золотое сечение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Математические свойства

[править] Золотое сечение и гармония в искусстве

[править] Критика

[править] См. также

[править] Источники

[править] Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках