Логарифмическая спираль

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Логарифми́ческая спира́ль или изогональная спираль — особый вид спирали, часто встречающийся в природе.

История[править | править исходный текст]

Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis — «удивительная спираль». Декарт искал кривую, обладающую свойством, подобным свойству окружности, так чтобы касательная в каждой точке образовывала с радиус-вектором в каждой точке один и тот же угол. Он показал, что это условие равносильно тому, что полярные углы для точек кривой пропорциональны логарифмам радиус-векторов.

Уравнения[править | править исходный текст]

В полярных координатах кривая может быть записана как

r = ae^{b\theta}\,

либо

\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),,

где  \theta  — угол отклонения точки от нуля, r — радиус-вектор точки, a — коэффициент, отвечающий за расстояние между витками, b — коэффициент, отвечающий за густоту витков.

В параметрической форме может быть записана как

x(t) = r \cos t = ae^{bt} \cos t\,,
y(t) = r \sin t = ae^{bt} \sin t\,,

где a, b — действительные числа, t — аналог  \theta в выражении в полярный координатах

Свойства[править | править исходный текст]

Анимация «Построение спирали». Если у Вас это уменьшенное изображение не двигается, откройте по ссылке его полную версию.
\frac{\langle \mathbf{r}(\theta), \mathbf{r}'(\theta) \rangle}{\|\mathbf{r}(\theta)\|\|\mathbf{r}'(\theta)\|} = \frac b{\sqrt{1+b^2}} = \cos\varphi;\quad  b = \mathrm{ctg}\,\varphi.
  • Производная функции \mathbf{r}'(\vartheta) пропорциональна параметру b. Другими словами, он определяет, насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В предельном случае, когда b = 0 (\varphi=\pi/2) спираль вырождается в окружность радиуса a. Наоборот, когда b стремится к бесконечности (\varphi \rightarrow 0), спираль стремится к прямой линии. Угол, дополняющий \varphi до 90°, называется наклоном спирали.
  • Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остаётся неизменной.
  • Прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен. Возможно, в результате этого свойства логарифмическая спираль появляется в определённых растущих формах, подобных раковинам моллюсков, шляпкам подсолнечников, спиралям циклонов и галактик.
  • Поворачивая полярную ось вокруг полюса, можно добиться полного уничтожения параметра a и привести уравнение к виду  r=e^{m\theta} , где m  — новый параметр.
  • Радиус кривизны в каждой точке спирали пропорционален длине дуги спирали от ее начала до этой точки.

Интересные факты[править | править исходный текст]

Надгробие Бернулли
  • Якоб Бернулли хотел, чтобы на его могиле была выгравирована логарифмическая спираль, но вместо этого по ошибке на его надгробие поместили архимедову спираль. Тем не менее, надпись на латыни, выгравированная согласно завещанию вокруг спирали, «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я вновь воскресаю»), свидетельствует о том, что имеется ввиду именно логарифмическая спираль, которая обладает замечательным свойством восстанавливать свою форму после различных преобразований.
  • В репертуаре группы Tool композиция Lateralus посвящена спиралям.


Ссылки[править | править исходный текст]