Первая квадратичная форма

Первая квадратичная форма или метрический тензор поверхности ― квадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления длин дуг, углов между кривыми, площади областей на поверхности.

Определение

Пусть поверхность задана уравнением

$r=r(u,v),$

где $u$ и $v$ ― внутренние координаты на поверхности;

$dr=r_{u}du+r_{v}dv$

― дифференциал радиус-вектора $r$ вдоль выбранного направления смещения из точки $M$ в бесконечно близкую точку $M'$. Квадрат главной липшицевой части приращения длины $|MM'|$ выражается квадратом дифференциала $dr$:

$dr^{2}=r_{u}^{2}du^{2}+2\langle r_{u}r_{v}\rangle dudv+r_{v}^{2}dv^{2}$

и называется первой основной квадратичной формой поверхности. Коэффициенты первой квадратичной формы обычно обозначают через

$E=|r_{u}|^{2},F=\langle r_{u},r_{v}\rangle ,G=|r_{v}|^{2}.$

или в тензорных символах

$dr^{2}=g_{1,1}du^{2}+2g_{1,2}dudv+g_{2,2}dv^{2}.$

Тензор $g_{i,j}$ называется основным, или метрическим, тензором поверхности.

Свойства

• Первая квадратичная форма является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности:

$EG-F^{2}>0.$

См. также

• Вторая квадратичная форма
• Метрический тензор