Длина кривой

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Полигональное приближение кривой

Длиной кривой в метрическом пространстве $(X,ρ)$ называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой $\gamma:[a,b]\to X$ есть величина равная

$\sup\limits_{P} \sum\limits_{k=0}^m \rho(\gamma(x_{k+1}),\gamma(x_k)),$

где точная верхняя грань берётся по всем разбиениям $P$ отрезка $[a, b]$ .

Геометрически это определение означает, что дуга кривой заменяется ломаной, содержащей точки кривой как точки излома, и максимум длин всех таких ломаных принимается за длину кривой.

[править] Связанные определения

Если длина конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае неспрямляемая

[править] Формулы

Если кривая класса $C 1$ в $\R^n$ , то её длина равна:

В общем случае $\mathbb{R}^n$ — $\int\limits_a^b \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \left( f'_k (t) \right)^2} \, dt$ .
В $\mathbb{R}^3$ — $\int\limits_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}\, dt$ .
Если кривая задана в $\mathbb{R}^2$ как $f (x)$ , то длина равна $\int\limits_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2}\, dx$ .
В полярных координатах для плоской кривой: