Ёмкость Шеннона

Ёмкость Шеннона (шенноновская ёмкость) — характеристика неориентированного графа, описывающая предельную плотность кодирования с возможностью гарантированного отслеживания ошибок в канале связи, модель которого представляет данный граф.

В этой модели вершины графа соответствуют символам алфавита, а наличие ребра между двумя вершинами означает, что при передаче первый символ может быть заменён на второй, а второй — на первый. Вероятности или частота, с которыми это происходит, в модели не рассматриваются, целью является построение оптимального способа кодирования, устойчивого к сколь угодно непредсказуемым ошибкам такого рода.

Несмотря на "практичную" формулировку, задача определения шенноновской ёмкости того или иного графа на текущий момент носит сугубо теоретический характер.

Мотивация к изучению

Граф $C_{5}$ с выделенным максимальным независимым множеством

Пусть по каналу связи передаётся текст, записанный с помощью алфавита из пяти символов: $\{0,1,2,3,4\}$, причём физически чтение передаваемых символов реализовано через дискретизацию аналогового сигнала (взятие ближайшего из граничных значений). Из-за погрешностей в передаче сигнала могут перепутываться соседние символы, а также последний ($4$) перепутываться с первым ($0$). Граф $G$, описывающий возможные ошибки этого канала связи, будет циклом длины 5.

Если передавать текст "как есть", то, получив символ $2$, получатель не сможет понять, был ли передан отправителем символ $2$ или это был переданный отправителем символ $1$, при передаче которого произошла ошибка и он превратился в символ $2$.

Такая неоднозначность может возникать всегда когда используются хотя бы два символа, соединённые ребром в графе ошибок. Чтобы этого не происходило, можно выбрать независимое множество вершин этого графа и кодировать текст только с помощью символов, соответствующих этим вершинам. При этом, чтобы информационная ценность каждого символа страдала как можно меньше, уместно брать максимальное по размеру из таких множеств (его размер обозначается как $\alpha (G)$).

В рассматриваемом примере, очевидно, $\alpha (G)=2$ и поэтому текст нужно кодировать двумя символами (например, $1$ и $3$). Если длина передаваемого текста (количество символов исходного алфавита) равна $n$, то существует всего $5^{n}$ вариантов этого текста и чтобы закодировать их все символами двубуквенного алфавита понадобится не менее $\log _{2}{(5^{n})}=n\log _{2}5$ бит, то есть размер текста увеличится не менее чем в $\log _{2}5$ раз.

Граф $C_{5}^{2}$ c выделенным максимальным независимым множеством

Этот результат можно улучшить если рассматривать не множество ошибок передачи каждого отдельного символа, а ошибки при передаче пары символов. Граф пар символов, которые могут подменяться друг другом (его обозначают как $G^{2}$) будет иметь не меньшее число независимости.

В рассматриваемом примере $\alpha (G^{2})=5$ и одно из максимальных независимых множеств - $\{(0,3),(1,0),(2,2),(3,4),(4,1)\}$. Это означает, что в передаваемом сообщении можно использовать все пять символов, но с условием, что при объединении их в последовательные пары будут образовываться только пары из этого множества (например, текст $00$ использовать нельзя, потому что он может быть образован из текста $10$, который тоже используется). Если изначально в передаваемом тексте было $n$ символов, то каждый из них можно перевести в одну из этих пар и получить текст длины $2n$ с требуемыми свойствами отслеживания ошибок. Поскольку $2<\log _{2}5$, то этот способ кодирования эффективнее первого.

Естественным образом возникает вопрос, можно ли улучшить этот результат, рассматривая не пары, а последовательные тройки, четвёрки и бо́льшее количество символов, и какого наилучшего результата можно достичь этим методом. Формализация этого вопроса и приводит к понятию ёмкости Шеннона.

Формальное определение

Для определения ёмкости Шеннона используется вспомогательное определение прямого произведения графов:

$G_{1}\times G_{2}=(V_{1},E_{1})\times (V_{2},E_{2})=(V',E')$, где

$V'=V_{1}\times V_{2}$

$((v_{1},w_{1}),(v_{2},w_{2}))\in E'\iff ((v_{1},v_{2})\in E_{1}\lor v_{1}=v_{2})\land ((w_{1},w_{2})\in E_{2}\lor w_{1}=w_{2})\land ((v_{1},w_{1})\not =(v_{2},w_{2}))$

Это операция с точностью до изоморфизма является ассоциативной и коммутативной, так что можно естественным образом определить степень графа:

$G^{k}=G\times G^{k-1}$

Определение Ёмкость Шеннона графа $G$ равна $c(G)=\sup \limits _{n\in {\mathbb {N} }}{\sqrt[{n}]{\alpha (G^{n})}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\alpha (G^{n})}}$

Последнее равенство обусловлено тем, что $\alpha (G\times H)\geq \alpha (G)\alpha (H)$.

Характер сходимости

Достижимость предела

Предел последовательности ${\sqrt[{n}]{\alpha (G^{n})}}$ достигается не всегда. Например, когда $G$ представляет собой объединение цикла длины 5 ($C_{5}$) и изолированной вершины, то $c(G)={\sqrt {5}}+1$, но ${\sqrt[{n}]{\alpha (G^{n})}}<{\sqrt {5}}+1$

Это обусловлено тем, что $\alpha (G^{n})=\sum \limits _{k=1}^{n}{{\binom {n}{k}}\alpha ({C_{5}}^{k})}+1$ и $\alpha (C_{5})<c(C_{5})$, так что аналогичное верно для объединения изолированной вершины с любым графом $H$, для которого $\alpha (H)<c(H)$

Скорость роста

Актуален вопрос о том, насколько быстро значения $\alpha _{n}={\sqrt[{n}]{\alpha (G^{n})}}$ приближаются к $c(G)$. В 2006 году Алон и Любецкий показали. что при достаточно большом размере графа конечного числа значений $\alpha _{n}$ недостаточно чтобы узнать $G$ с точностью хотя бы до $|G|^{\varepsilon }\forall \epsilon >0$. В той же работе они выдвинули несколько гипотез на эту тему.

Теорема Для любого целого $v$ существует сколь угодно большое $N$ и граф $G$ размера $N$ такие, что $\alpha _{k}=O(\log N)$ при $k<v$ $\alpha _{v}=N^{\frac {1}{v}}$

Описание конструкции

Группы рёбер в примере Алона-Любецкого. Из каждой группы удаляется одно (случайное) ребро.

Доказательство Алона и Любецкого было вероятностным (то есть конкретной конструкции какого-то одного графа из него вывести нельзя, но существование таковых доказано).

Они рассматривали полный граф из $nv$ вершин ($n$ - достаточно большое целое), рёбра которого поделены на группы и из каждой группы случайным образом (равновероятно по всем рёбрам группы) удалено одно ребро.

Если индексировать вершины графа парами $(i,k),i\in [1;n],k\in [1;v]$, то два ребра $((i_{1},k_{1}),(j_{1},l_{1}))$ и $((i_{2},k_{2}),(j_{2},l_{2}))$ относятся к одной группе если:

• $i_{1}=i_{2}$
• $j_{1}=j_{2}$
• $l_{1}-k_{1}=l_{2}-k_{2}$

Визуально это можно представить при изображении графа на торе как объединение в группу рёбер, получающихся друг из друга параллельным переносом по одной прямой (см. картинку).

Оценки и методы изучения

Общих алгоритмов вычисления шенноновской ёмкости по состоянию на 2019 год неизвестно. Это связано не только с тем, что сама задача о числе независимости NP-полна и потому вычислительно трудна, но и с тем, что при вычисленных значениях $\alpha (G^{k})$ для малых $k$ задача предсказания дальнейшего роста этих величин также остаётся нетривиальной.

Более того, неизвестно даже точное значение ёмкости для цикла длины 7 или большей нечётной длины. Однако для циклов нечётной длины известен предельный закон:

$c(C_{2n+1})=n+{\frac {1}{2}}+o(1)$

Число Ловаса

Основная статья: Число Ловаса

Ласло Ловас в 1979 году показал, что $c(C_{5})={\sqrt {\alpha (C_{5}^{2})}}={\sqrt {5}}$. Для доказательства он вывел общую верхнюю оценку для ёмкости Шеннона через характеристику системы векторов $(u_{i})_{i\in V}$, структура которой связана со структурой графа $G=(V,E)$, а именно

$u_{i}^{\mathrm {T} }u_{j}={\begin{cases}1,&i=j,\\0,&(i,j)\notin E.\end{cases}}$

При таком подходе чтобы получить верхнюю оценку достаточно предъявить хотя бы одну систему векторов c нужными свойствами, то есть происходит переход от задачи доказательства к задаче предъявления контрпримера.

В конструкции Ловаса с размером графа должно совпадать только количество векторов, но не размерность пространства. Например, для доказательства $c(C_{5})={\sqrt {5}}$ использовались трёхмерные вектора.

Алгебраические оценки

Haemers получил оценку ёмкости через ранг матриц, похожих по структуре на матрицу смежности, а именно

$c(G)\leq R(G)=\min _{B}\operatorname {rank} (B),$

где минимум берётся по всем матрицам $B$ размера $n\times n$ в произвольном поле таким, что:

• $b_{ii}\not =0$
• $(i,j)\not \in E\Rightarrow b_{ij}=0$

Таким образом, для верхней оценки также достаточно предъявить хотя бы одну матрицу $B$, имеющую малый ранг.

См. также

• Задача о независимом множестве