Контрпример

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Контрпример — пример, опровергающий верность некоторого утверждения.

Построение контрпримера — обычный способ опровержения гипотез. Если имеется утверждение типа «Для любого X из множества M выполняется свойство A», то контрпримером для этого утверждения будет: «Существует объект X0 из множества M, для которого свойство A не выполняется».

Часто найти контрпример вручную очень сложно. В таких случаях можно воспользоваться компьютером. Программа для нахождения контрпримера может просто перебирать элементы множества M и проверять выполнения свойства A. Более сложный, но и более эффективный, подход заключается в построении контрпримера «по частям». При этом при выборе очередной «части» сразу отбрасываются варианты, которые заведомо не ведут к опровержению рассматриваемого утверждения. Это позволяет значительно ускорить работу, зачастую на порядки.

Необходимо помнить, что отсутствие контрпримера не служит доказательством гипотезы. Доказательство такого рода можно строить, только если рассматриваемое множество конечно. В этом случае, достаточно перебрать все его элементы, и, если контрпримера среди них нет, то утверждение будет доказано.

Классические контрпримеры в математике[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967.
  • Лакатос И. Доказательства и опровержения: как доказываются теоремы. М.: Наука, 1967.
  • Медведев Ф. А. Очерки истории теории функций действительного переменного. М.: Наука, 1975.
  • Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир, 1980.
  • Стоянов Й. Контрпримеры в теории вероятностей. М.: Факториал, 1999.
  • Щетников А. И., Щетникова А. В. Роль контрпримеров в развитии основных понятий математического анализа. Новосибирск: АНТ, 1999.
  • Romano J. P., Siegel A. F. Counterexamples in probability and statistics. Chapman & Hall, NY, 1986.
  • Steen L. A., Seebach J. A. (Jr.). Counterexamples in topology. Springer, NY, 1978.
  • Wise G. L., Hall E. B. Counterexamples in probability and real analysis. Oxford UP, 1993.