Геометрия Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Геометрия Римана (Эллиптическая геометрия) — одна из трёх «великих геометрий» (Евклида, Лобачевского и Римана). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой гауссовой кривизной, Лобачевского — с постоянной отрицательной, то геометрия Римана реализуется на поверхностях с постоянной положительной гауссовой кривизной, т.е. на сферах. Исторически геометрия Римана появилась позже двух других геометрий (в 1854 г.).

В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость — тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т.д., но через данную точку нельзя провести к прямой ни одной параллельной. В геометрии Римана, как и в сферической геометрии, справедливо утверждение: сумма углов треугольника больше двух прямых, имеет место формула \,\Sigma = \pi + {S}/{R^2}, где \,\Sigma — сумма углов треугольника, \,R — радиус сферы, на которой реализована геометрия.

Отождествление противоположных точек сферы в геометрии Римана

Геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две «прямые» имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. Поэтому иногда геометрией Римана называют геометрию на сфере, в которой противоположные точки отождествлены; таким образом из сферы получается проективная плоскость. Именно, рассмотрим сферу \,S с центром в точке \,O в трехмерном пространстве \,E. Каждая точка A \in S вместе с центром сферы \,O определяет некоторую прямую l \subset E, т.е. некоторую точку \,A_* проективной плоскости \,\Pi. Сопоставление A \to A_* определяет отображение S \to \Pi, большие круги на \,S (прямые в сферической геометрии) переходят в прямые на проективной плоскости \,\Pi, при этом в одну точку A_*\in \Pi переходят ровно две точки сферы: вместе с точкой A \in S и диаметрально противоположная ей точка A' \in S (см. рисунок). Евклидовы движения пространства \,E, переводящие сферу \,S в себя, задают некоторые определенные преобразования проективной плоскости \,\Pi, которые являются движениями геометрии Римана. В геометрии Римана любые прямые пересекаются, поскольку это верно для проективной плоскости, и таким образом, в ней нет параллельных прямых.

Геометрия Римана не является абсолютной геометрией. В частности, в ней нет естественного понятия «точка C лежит между точками A и B», которое используется в аксиоматике абсолютной геометрии. Действительно, на прямую проективной плоскости \,\Pi отображается большой круг на сфере \,S, причем две диаметрально противоположные точки сферы \,A и \,A' переходят в одну точку A_* \in \Pi. Аналогично, точки \,B, B' переходят в одну точку B_* \in \Pi и точки \,C, C' переходят в одну точку C_* \in \Pi. Таким образом, с равным основанием можно считать, что точка \,C_* лежит между \,A_* и \,B_* и что она не лежит между ними (см. рисунок).

Литература[править | править исходный текст]

  • Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 584 с. — ISBN 5-9221-0267-2.
  • Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
  • Берже М. Геометрия. — Пер. с франц. — в 2 т. — М.: Мир, 1984. — Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
  • Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.—М., 1948.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009.
  • Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990.
  • Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007.
  • Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — Любое издание.