Гиппократовы луночки

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Гиппократовы луночки

Гиппокра́товы лу́ночки — серповидные фигуры, указанные Гиппократом Хиосским, ограниченные дугами двух окружностей. Их особенность состоит в том, что эти фигуры можно квадрировать, то есть с помощью циркуля и линейки можно построить равновеликие им прямоугольники. Гиппократ надеялся на этом пути решить проблему «квадратуры круга», однако существенного прогресса не добился.

Простейший пример[править | править вики-текст]

Простейший пример показан на рисунке. Луночка ограничена двумя дугами — полуокружностью с диаметром на гипотенузе AB равнобедренного прямоугольного треугольника \triangle ABC и дугой окружности с центром в C. При этом площадь заштрихованной луночки равна площади \triangle ABC.

Действительно, площадь полукруга P с диаметром AB, равна площади сектора S на дуге AB с центром C. Следовательно площадь луночки P\backslash S равна площади треугольника \triangle ABC=S\backslash P.

Классификация[править | править вики-текст]

Гиппократ получил три квадрируемые луночки. Бернулли в «Математических упражнениях» (1724) указал условие, которому должны удовлетворять алгебраически квадрируемые луночки, и привел уравнение, дающее четвертую квадрируемую луночку[1]. Немного позднее финский математик М. Й. Валлениус (1766) и независимо от него Эйлер (1771) также обнаружили четвёртую и ещё одну луночку[2].

В 1840 году Клаузен повторно обнаружил и исследовал те же два негиппократовых типа квадрируемых луночек. Позднее, в 1930-е годы, Чеботарёв и А. В. Дороднов доказали, что если угловые меры внешней и внутренней дуг луночек соизмеримы, то других типов квадрируемых луночек, кроме указанных пяти, не существует[3]. Если обозначить угловые меры внешней и внутренней дуг луночек символами ~\alpha, \beta, то пяти типам квадрируемых луночек соответствуют следующие отношения ~\alpha : \beta.

  • (Луночки Гиппократа) 2:1;\; 3:2;\; 3:1. Углы: (180°:90°), (160,9°:107,2°), (205,6°:68,5°).
  • (Прочие) 5:1;\; 5:3. Углы: (234.4°:46.9°) и (168.0°:100.8°).

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Чеботарев Н. Г. Основы теории Галуа, Часть 1. М.: Эдиториал УРСС, 2004, 224c. ISBN 5-354-00941-3.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Никифоровский В. А. Великие математики Бернулли. — М.: Наука, 1984. — С. 124. — 177 с. — (История науки и техники).
  2. W. Dunham. Journey Through Genius, Penguin Books, 1990, p. 26.
  3. Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. — № 11. — С. 285-287.