Гиппократовы луночки

Гиппократовы луночки

Гиппокра́товы лу́ночки — серповидные фигуры, указанные Гиппократом Хиосским, ограниченные дугами двух окружностей. Их особенность состоит в том, что эти фигуры можно квадрировать, то есть с помощью циркуля и линейки можно построить равновеликие им прямоугольники. Гиппократ надеялся на этом пути решить проблему «квадратуры круга», однако существенного прогресса не добился.

Простейший пример

Простейший пример показан на рисунке. Луночка ограничена двумя дугами — полуокружностью с диаметром на гипотенузе $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ и дугой окружности с центром в $C$. При этом площадь заштрихованной луночки равна площади $\triangle ABC$.

Действительно, площадь полукруга $P$ с диаметром $AB$, равна площади сектора $S$ на дуге $AB$ с центром $C$. Следоватеьно площадь луночки $P\backslash S$ равна площади треугольника $\triangle ABC=S\backslash P$.

Классификация

• Гиппократ получил три квадрируемые луночки.
• В 1771 году Эйлер обнаружил ещё две луночки.
• Бернулли в «Математических упражнениях» указал условие, которому должны удовлетворять алгебраически квадрируемые луночки, и привел уравнение, дающее четвертую квадрируемую луночку.^{[источник не указан 114 дней]}
• В 1840 году Клаузен (англ.) нашёл ещё два типа квадрируемых луночек.
• Позднее, в 1930-е годы, Чеботарёв и А. В. Дороднов доказали, что если угловые меры внешней и внутренней дуг луночек соизмеримы, то других типов квадрируемых луночек, кроме указанных пяти, не существует.

Вариации и обобщения

Следующее наблюдение было высказано арабом Ибн Альхаитамом, а французские математики А. де Лион и Г. Парди высказали его вновь в 1654 и в 1671 г.:^{[источник не указан 114 дней]}

Построим на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре полуокружность, лежащую с той же стороны гипотенузы, что и сам треугольник, а на катетах, как на диаметрах, построим полуокружности во внешнюю от треугольника сторону. Тогда сумма площадей двух получившихся луночек равна площади треугольника АВС.

См. также

• Квадратура круга.
• Построение с помощью циркуля и линейки.
• Двуугольник.

Литература

• Чеботарев Н. Г. Основы теории Галуа, Часть 1. М.: Эдиториал УРСС, 2004, 224c. ISBN 5-354-00941-3.