Прямоугольный треугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Прямоугольный треугольник

Прямоуго́льный треуго́льник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов).

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника лежат в основе тригонометрии.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой (сторона c на рисунке выше).
  • Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами. Сторона a может быть идентифицирована как прилежащая к углу В и противолежащая углу A, а сторона b — как прилежащая к углу A и противолежащая углу В.

Типы прямоугольных треугольников[править | править вики-текст]

  • Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, то треугольник называется пифагоровым треугольником, а длины его сторон образуют так называемую пифагорову тройку.

Признаки равенства прямоугольных треугольников[править | править вики-текст]

  • По двум катетам

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

  • По катету и острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

  • По гипотенузе и острому углу

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

  • По гипотенузе и катету

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Свойства[править | править вики-текст]

Далее предполагаем, что a и b длины катетов, а c длина гипотенузы

  • Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух его катетов. То есть,
    S=\tfrac{1}{2}ab.
  • Для медиан m_a, m_b и m_c выполняется следующее соотношение:
    m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 = \frac{5}{4}c^2.
    • В частности, медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.


Высота[править | править вики-текст]

Высота прямоугольного треугольника.

Если высота проведена из вершины с прямым углом к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу. Из этого следует:

  • Каждый катет треугольника есть среднее пропорциональное гипотенузы и смежных сегментов.
  • Катет, лежащий против острого угла в 30°, равен половине гипотенузы.
  • Катет, лежащий против острого угла в 19.5 , равен третей части гипотенузы.
  • Справедливы соотношения:
\displaystyle f^2=de, (иногда это называют теоремой высоты прямоугольного треугольника)
\displaystyle b^2=ce,
\displaystyle a^2=cd
где a, b, c, d, e, f показаны на диаграмме.[1] Следовательно:
f=\frac{ab}{c}.
  • Высота, опущенная на гипотенузу, связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением:[2][3]
    \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{ f^2}.

Характеристики[править | править вики-текст]

Треугольник ABC со сторонами a, b, c (где c — самая длинная сторона), площади T, с описанной окружностью радиуса R является прямоугольным треугольником тогда и только тогда, когда верно одно из следующих соотношений:[4]

Тригонометрические соотношения[править | править вики-текст]

Тригонометрические функции для острых углов можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника. Для любого данного угла можно построить прямоугольный треугольник, содержащий такой угол, и со сторонами: противолежащим катетом, прилежащим катетом и гипотенузой, связанными с этим углом определёнными выше соотношениями. Эти отношения сторон не зависят от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, а зависят только от заданного угла, так как все треугольники, построенные таким образом, являются подобными. Если для заданного угла α, противолежащий катет, прилежащий катет и гипотенузу обозначить a, b и c соответственно, то тригонометрические функции имеют вид:

\sin\alpha =\frac {a}{c},\,\cos\alpha =\frac {b}{c},\,\operatorname{tg}\alpha =\frac {a}{b},\,\operatorname{ctg}\alpha =\frac {b}{a},\sec\alpha =\frac {c}{b},\,\,\csc\alpha =\frac {c}{a}.

И таким образом:

  • Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла
a = c \cdot \sin\alpha,\, b = c \cdot \sin\beta.
  • Катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла
a = c \cdot \cos\beta,\, b = c \cdot \cos\alpha.
  • Катет, противолежащий углу, равен произведению второго катета на тангенс угла
a = b \cdot \operatorname{tg}\alpha,\, b = a \cdot \operatorname{tg}\beta.
  • Катет, прилежащий углу, равен произведению второго катета на котангенс угла
a = b \cdot \operatorname{ctg}\beta,\, b = a \cdot \operatorname{ctg}\alpha.
  • Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, и/или частному отношению катета и косинуса прилежащего угла (угла между ними)
c =\frac {a}{\sin\alpha} =\frac {b}{\sin\beta} =\frac {a}{\cos\beta} =\frac {b}{\cos\alpha}.

Специальные прямоугольные треугольники[править | править вики-текст]

Значения тригонометрических функций можно точно оценить для определённых углов, используя прямоугольные треугольники с особыми значениями углов. К таким треугольникам относятся треугольник 30-60-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для любых значений, кратных π/6, и треугольник 45-45-90 (равнобедренный прямоугольный), который можно использовать для оценки тригонометрических функций для значений, кратных π/4.

Теорема Фалеса[править | править вики-текст]

Медиана прямого угла треугольника

Теорема Фалеса утверждает, что если какая-нибудь точка A лежит на окружности диаметра BC (за исключением самих точек B и C), то △ABC представляет собой прямоугольный треугольник с прямым углом A. Обратное утверждение таково: если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то гипотенуза будет её диаметром. Следствием является то, что длина гипотенузы равна удвоенному расстоянию от вершины прямого угла до середины гипотенузы. Верно также, что центр окружности, описывающей прямоугольный треугольник, является серединой гипотенузы, а её радиус равен половине длины гипотенузы.


Другие свойства[править | править вики-текст]

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c равен:

 r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{ab}{a+b+c}.

Если отрезки длиной p и q, исходящие из вершины C, делят гипотенузу на три равных отрезка длины c/3, то:[5]:pp. 216-217

 p^2 + q^2 = 5\left(\frac{c}{3}\right)^2.

Прямоугольный треугольник является единственным треугольником с двумя, а не тремя, отличными друг от друга вписанными квадратами.[6]

Пусть h и s (h>s) сторонами двух квадратов, вписанных в прямоугольный треугольник с гипотенузой c. Тогда:

\frac{1}{c^2} + \frac{1}{h^2} = \frac{1}{s^2}.

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме радиусов вписанной и трёх описанных окружностей.

Во все прямоугольных треугольниках медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Wentworth p. 156
  2. Voles, Roger, «Integer solutions of a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}Mathematical Gazette 83, July 1999, 269—271.
  3. Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem, " Mathematical Gazette 92, July 2008, 313—317.
  4. Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, «Complex Numbers from A to…Z», Birkhäuser, 2006, pp. 109—110.
  5. Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.
  6. Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, «Squares inscribed in angles and triangles», Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278—284.

Ссылки[править | править вики-текст]