Диофантовы и лиувиллевы числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, иррациональное число x называется диофантовым[1], если при его приближении рациональным числом ошибка составляет не менее некоторой степени знаменателя:


\exists C, \alpha>0\colon \quad \forall p\in \Z, q\in\N \quad \left|x-\frac{p}{q} \right| \geqslant \frac{C}{q^{\alpha}}.

В противном случае, число x называют лиувиллевым.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Всякое алгебраическое иррациональное число диофантово. В частности, тем самым, любое лиувиллево число трансцендентно, что позволяет явно строить трансцендентные числа как суммы сверхбыстро сходящихся рядов рациональных чисел.
  • Диофантовы числа метрически типичны: их множество имеет полную меру Лебега.
  • Напротив, лиувиллевы числа нетипичны с топологической точки зрения: их множество остаточно.

Постоянная Лиувилля[править | править вики-текст]

Классический пример лиувиллева числа — постоянная Лиувилля, определяемая как

\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0{,}1100010000000000000000010000\ldots

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Милнор Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.