Иррациональное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть которое не может быть представленным в виде дроби $\frac{m}{n}$ , где $m$ — целое число, $n$ — натуральное число. О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа $\sqrt 2$ .

Множество иррациональных чисел обычно обозначается $\mathbb I$ . Таким образом

$\mathbb I =\R\backslash \Q$

— множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

[править] Свойства

Всякое вещественное число может быть записано бесконечной десятичной дробью, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
Каждое трансцендентное число является иррациональным.
Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.
Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории.

[править] Теоремы

[править] $\sqrt{2}$ — иррациональное число

Допустим противное: $\sqrt{2}$ рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$ , где $m$ и $n$ — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

$\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2$ .

Отсюда следует, что $m 2$ чётно, значит, чётно и $m$ . Пускай $m = 2 r$ , где $r$ целое. Тогда

$(2r)^2=2n^2 \Rightarrow n^2=2r^2$

Следовательно, $n 2$ чётно, значит, чётно и $n$ . Мы получили, что $m$ и $n$ чётны, что противоречит несократимости дроби $\frac{m}{n}$ . Значит, исходное предположение было неверным, и $\sqrt{2}$ — иррациональное число.

[править] $log 23$ — иррациональное число

Допустим противное: $log 23$ рационален, то есть представляется в виде дроби $\frac{m}{n}$ , где $m$ и $n$ — целые числа. Поскольку $log 2 3 > 0$ , $m$ и $n$ могут быть выбраны положительными. Тогда