Дифференциальное уравнение Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дифференциа́льное уравне́ние Ри́мана — обобщение гипергеометрического уравнения, позволяющее получить регулярные сингулярные точки (англ.)русск. в любой точке сферы Римана. Названо в честь математика Бернхарда Римана.

Определение[править | править вики-текст]

Дифференциальное уравнение Римана определяется как

\frac{d^2w}{dz^2} + \left[
\frac{1-\alpha-\alpha'}{z-a} +
\frac{1-\beta-\beta'}{z-b} +
\frac{1-\gamma-\gamma'}{z-c} \right] \frac{dw}{dz}
+\left[
\frac{\alpha\alpha' (a-b)(a-c)} {z-a}
+\frac{\beta\beta' (b-c)(b-a)} {z-b}
+\frac{\gamma\gamma' (c-a)(c-b)} {z-c}
\right]
\frac{w}{(z-a)(z-b)(z-c)}=0.

Его регулярными сингулярными точками будут a, b и c. Их степени \alpha и \alpha', \beta и \beta', \gamma и \gamma' соответственно. Они удовлетворяют условию

\alpha+\alpha'+\beta+\beta'+\gamma+\gamma'=1. \,

Решения уравнения[править | править вики-текст]

Решения уравнения Римана записываются через P-символ Римана

w=P  \left\{ \begin{matrix} a & b & c & \; \\ 
\alpha & \beta & \gamma & z \\
\alpha' & \beta' & \gamma' & \;
\end{matrix} \right\}

Обычная гипергеометрическая функция может быть записана как

\;_2F_1(a,b;c;z) =
P  \left\{ \begin{matrix} 0 & \infty & 1 & \; \\ 
0 & a & 0 & z \\
1-c & b & c-a-b & \;
\end{matrix} \right\}

P-функции подчиняются ряду тождеств, одно из которых позволяет обобщить их в терминах гипергеометрических функций. А именно, выражение

P  \left\{ \begin{matrix} a & b & c & \; \\ 
\alpha & \beta & \gamma & z \\
\alpha' & \beta' & \gamma' & \;
\end{matrix} \right\} = 
\left(\frac{z-a}{z-b}\right)^\alpha 
\left(\frac{z-c}{z-b}\right)^\gamma
P \left\{ \begin{matrix} 0 & \infty & 1 & \; \\ 
0 & \alpha+\beta+\gamma & 0 & \;\frac{(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)} \\
\alpha'-\alpha & \alpha+\beta'+\gamma & \gamma'-\gamma & \;
\end{matrix} \right\}

позволяет записать решение уравнения в виде

w=
\left(\frac{z-a}{z-b}\right)^\alpha 
\left(\frac{z-c}{z-b}\right)^\gamma
\;_2F_1 \left(
\alpha+\beta +\gamma, 
\alpha+\beta'+\gamma; 
1+\alpha-\alpha';
\frac{(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)} \right)

Преобразование Мёбиуса[править | править вики-текст]

P-функция обладает простой симметрией по отношению к преобразованию Мёбиуса, то есть по отношению к группе GL(2, C) или, что эквивалентно, конформному отображению сферы Римана. Произвольно выбранные четыре комплексных числа A, B, C и D, удовлетворяющие условию AD-BC \neq 0, определяют соотношения

u=\frac{Az+B}{Cz+D} 
\quad \text{ and } \quad
\eta=\frac{Aa+B}{Ca+D}и
\zeta=\frac{Ab+B}{Cb+D}
\quad \text{ and } \quad
\theta=\frac{Ac+B}{Cc+D}.

Тогда будет справедливым равенство

P  \left\{ \begin{matrix} a & b & c & \; \\ 
\alpha & \beta & \gamma & z \\
\alpha' & \beta' & \gamma' & \;
\end{matrix} \right\}
=P  \left\{ \begin{matrix} 
\eta & \zeta & \theta & \; \\ 
\alpha & \beta & \gamma & u \\
\alpha' & \beta' & \gamma' & \;
\end{matrix} \right\}

Литература[править | править вики-текст]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (Dover: New York, 1972)