Жёсткость Мостова

Жёсткость Мостова утверждает, что геометрия гиперболического многообразия конечного объёма в размерностях, начиная с трёх, полностью определяется его фундаментальной группой.

История

Для замкнутых многообразий теорема была доказана Джорджем Мостовым в 1968 году. Обобщена на многообразия конечного объёма размерности Марденом и Прасадом (англ. Prasad). Громов дал другое доказательство — основанное на симплициальном объёме.

До этого Вейль доказал тесно связаные утверждения. В частности то, что кокомпактные действия дискретных групп изометрий гиперболического пространства размерности не менее 3 не допускают нетривиальных деформаций.

Формулировки

Геометрическая формулировка

Пусть M и N — полные гиперболические n-мерные многообразия конечного объёма с n≥3. Тогда любой изоморфизм f: π₁(M) → π₁(N) индуцируется изометрией M → N.

Здесь π₁(M) обозначает фундаментальную группу многообразия M.

Алгебраическая формулировка

Пусть Γ и Δ — дискретные подгруппы группы G изометрий n-мерного гиперболического пространства H с n≥3, чьи факторпространства H/Γ и H/Δ имеют конечные объёмы. Тогда изоморфность Γ и Δ как дискретных групп влечёт их сопряжённость в G.

Приложения

• Группа изометрий конечных объёмов гиперболических n-многообразия M (для n≥3) конечна и изоморфна группе внешних автоморфизмов π₁(M).
• Теорема об упаковке кругов

Ссылки

• Gromov, Michael (1981), "Hyperbolic manifolds (according to Thurston and Jørgensen)", Bourbaki Seminar, Vol. 1979/80, Lecture Notes in Math., vol. 842, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 40—53, doi:10.1007/BFb0089927, ISBN 978-3-540-10292-2, MR 0636516, Архивировано из оригинала 10 января 2016
• Marden, Albert (1974), "The geometry of finitely generated kleinian groups", Annals of Mathematics. Second Series, 99: 383—462, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971059, MR 0349992, Zbl 0282.30014
• Mostow, G. D. (1968), "Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of the hyperbolic space forms", Publ. Math. IHES, 34: 53—104
• Mostow, G. D. (1973), Strong rigidity of locally symmetric spaces, Annals of mathematics studies, vol. 78, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08136-6, MR 0385004
• Prasad, Gopal (1973), "Strong rigidity of Q-rank 1 lattices", Inventiones Mathematicae, 21: 255—286, doi:10.1007/BF01418789, ISSN 0020-9910, MR 0385005
• Spatzier, R. J. (1995), "Harmonic Analysis in Rigidity Theory", in Petersen, Karl E.; Salama, Ibrahim A. (eds.), Ergodic Theory and its Connection with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference, Cambridge University Press, pp. 153—205, ISBN 0-521-45999-0. (Provides a survey of a large variety of rigidity theorems, including those concerning Lie groups, algebraic groups and dynamics of flows. Includes 230 references.)
• Thurston, William (1978-1981), The geometry and topology of 3-manifolds, Princeton lecture notes{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (формат даты) (ссылка). (Gives two proofs: one similar to Mostow’s original proof, and another based on the Gromov norm)
• Weil, André (1960), "On discrete subgroups of Lie groups", Annals of Mathematics. Second Series, 72: 369—384, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970140, MR 0137792
• Weil, André (1962), "On discrete subgroups of Lie groups. II", Annals of Mathematics. Second Series, 75: 578—602, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970212, MR 0137793