Фундаментальная группа
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В алгебраической топологии и связанных с нею областях математики фундамента́льной гру́ппой называется алгебраический объект, который сопоставляется топологическому пространству и измеряет, грубо говоря, количество дырок в нем. Наличие дырки определяется невозможностью непрерывно стянуть некоторую замкнутую петлю в точку. Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.
[править] Определение
Пусть X — топологическое пространство, пусть x0 — точка X, которую будем называть отмеченной. Рассмотрим множество непрерывных отображений ![f\colon [0,1] \to X](http://upload.wikimedia.org/math/1/5/2/152743320f95ec69230eebccfddc8151.png)
, таких что f(0) = x0 = f(1). Такие функции называются петлями в точке x0. Две петли f и g считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу. Соответствующие классы эквивалентности называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:
![(f*g)(t) = \begin{cases}
f(2t), ~ t\in [0, {1 \over 2}] \\
g(2t-1), ~ t\in [{1 \over 2},1]
\end{cases}](http://upload.wikimedia.org/math/5/5/b/55b7c984d4232af3ac1747edd7562dac.png)
Произведением двух гомотопических классов [f] и [g] называется гомотопический класс [f * g] произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства X с отмеченной точкой x0 и обозначается π1(X,x0).
Если X — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать π1(X) вместо π1(X,x0) не боясь вызвать путаницу.
[править] Примеры
Во многих пространствах, таких как 
, есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна, то есть ({0}, + ).
Более интересно устроена фундаментальная группа одномерной сферы S1 (окружности). Каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа одномерной сферы изоморфна 
.
[править] Литература
- Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7
- Матвеев С. В. Фундаментальная группа: Лекции по курсу «Топология». — Челябинск: ЧелГУ, 2001. — 16 с. (есть pdf)
 |
Это незавершённая статья по топологии. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
