Фундаментальная группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фундамента́льная гру́ппа — определённая группа, которая сопоставляется топологическому пространству. Грубо говоря, эта группа измеряет количество «дырок» в пространстве. Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать некоторую замкнутую кривую в точку.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть X — топологическое пространство с отмеченной точкой x_0\in X. Рассмотрим множество петель в X из x_0; то есть множество непрерывных отображений f\colon [0,1] \to X, таких что f(0) = x_0 = f(1). Две петли f и g считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия f_t, удовлетворяющая свойству f_t(0) = x_0 = f_t(1). Соответствующие классы эквивалентности называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:

(f*g)(t) = \begin{cases}
f(2t), ~ t\in [0, {1 \over 2}] \\
g(2t-1), ~ t\in [{1 \over 2},1]
\end{cases}

Произведением двух гомотопических классов [f] и [g] называется гомотопический класс [f*g] произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства X с отмеченной точкой x_0 и обозначается \pi_1(X,x_0).

Комментарии[править | править исходный текст]

  • Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.
  • Вообще говоря произведение петель не ассоциативно. Тем не менее индуцированное произведение на классах эквивалентности ассоциативно.
  • Если X — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать \pi_1(X) вместо \pi_1(X,x_0) не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек x, y \in X канонический изоморфизм между \pi_1(X, x) и \pi_1(X, y) существует лишь если фундаментальная группа абелева.

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств \varphi: (X, x_0) \to (Y, \varphi(x_0)) индуцирует отображение \varphi_* = \pi_1 \varphi: \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, \varphi(x_0)), определяемое формулой \varphi_*[f] = [\varphi f]. \varphi_* зависит только от гомотопического класса \varphi, и выполняются равенства (\varphi \psi)_* = \varphi_* \psi_* и (1_{(X, x_0)})_* = 1_{\pi(X, x_0)}. Таким образом, взятие фундаментальной группы вместе с описанной операцией образует функтор \pi_1: \mathbf{hTop} \to \mathbf{Grp}.

Примеры[править | править исходный текст]

  • В \R^n, есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна, \pi_1(\mathbb{R}^n) = 1. То же самое верно и для любого пространства-выпуклого подмножества \mathbb{R}^n
  • В одномерной сфере \mathbb S^1 (окружности), каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа одномерной сферы изоморфна аддитивной группе целых чисел \mathbb{Z}.
  • Фундаментальная группа n-мерной сферы \mathbb S^n тривиальна при всех n\ge 2.
  • Фундаментальная группа ориентированной замкнутой поверхности рода g может быть задана образующими a_1,\dots,a_g,b_1,\dots,b_g с единственным соотношением: a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\dots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}=1.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Если A — ретракт X, содержащий отмеченную точку x_0, то гомоморфизм i_*: \pi_1(A, x_0) \to \pi_1(X, x_0), индуцированный вложением i: A \hookrightarrow X, инъективен.
    • В частности, фундаментальная группа компоненты линейной связности X, содержащей отмеченную точку, изоморфна фундаментальной группе всего X.
    • Если A — строгий деформационный ретракт X, то i_*: \pi_1(A, x_0) \to \pi_1(X, x_0) является изоморфизмом.
  • \pi_1 сохраняет произведение: для любой пары топологических пространств с отмеченными точками (X,x_0) и (Y,y_0) существует изоморфизм
    \pi_1(X\times Y,(x_0,y_0)) \cong \pi_1(X,x_0)\times\pi_1(Y,y_0),
естественный по (X, x_0) и (Y, y_0).
  • Теорема ван Кампена (англ.): Если X — объединение линейно связных открытых множеств A_\alpha, каждое из которых содержит отмеченную точку x_0 \in X, и если каждое пересечение A_\alpha \cap A_\beta линейно связно, то гомоморфизм \Phi: \ast_\alpha \pi_1(A_\alpha) \to \pi_1(X), индуцированный вложениями A_\alpha \hookrightarrow X, сюрьективен. Кроме того, если каждое пересечение A_\alpha \cap A_\beta \cap A_\gamma линейно связно, то ядро гомоморфизма \Phi — это наименьшая нормальная подгруппа N, содержащая все элементы вида i_{\alpha \beta}(\omega) i_{\beta \alpha}(\omega)^{-1} (где i_{\alpha \beta} индуцирован вложением A_\alpha \cap A_\beta \hookrightarrow A_\alpha), а потому \Phi индуцирует изоморфизм \pi_1(x) \cong \ast_\alpha \pi_1(A_\alpha)/N (первая теорема об изоморфизме).[1] В частности,
    • \pi_1 сохраняет копроизведения: \pi_1(\bigvee_\alpha X_\alpha) \cong \ast_\alpha \pi_1(X_\alpha) естественно по всем X_\alpha.
    • (случай двух A_\alpha): условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что \pi_1(A_1 \cup A_2) \cong \pi_1(A_1) \mathbin{\ast_{\pi(A_1 \cap A_2)}} \pi_1(A_2), что является ограниченной (случаем линейно связного A_1 \cap A_2) формой сохранения толчков.
  • Свободные группы и только они могут быть реализованы как фундаментальные группы графов (действительно, стягивание остовного дерева в точку реализует гомотопическую эквивалентность графа и букета окружностей, также можно применить теорему ван Кампена).
  • Произвольная группа может быть реализована как фундаментальная группа двумерного клеточного комплекса.
  • Произвольная конечно заданная группа может быть реализована как фундаментальная группа замкнутого 4-мерного многообразия.
  • Фундаментальная группа пространства действует сдвигами на универсальном накрытии этого пространства.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. А. Хатчер, Алгебраическая топология, М.: МЦНМО, 2011.

Литература[править | править исходный текст]