Закон обратных квадратов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Линии обозначают поток, исходящий от источника. Общее количество линий потока зависит от мощности источника и остаётся неизменным с увеличением расстояния от него. Более высокая плотность линий (количество линий на единицу площади) означает более сильное поле. Плотность линий потока обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника, так как площадь поверхности сферы растёт пропорционально квадрату радиуса. Таким образом, сила поля обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника.

В физике закон обратных квадратов — это закон, утверждающий, что значение некоторой физической величины в данной точке пространства обратно пропорционально квадрату расстояния от источника поля, которое характеризует эта физическая величина.

Обоснование[править | править вики-текст]

Закон обратных квадратов в общем случае применим, когда линии действия некоторой силы, или энергия или другая сохраняющая полное значение величина расходится (распространяется) в радиальном направлении от источника. По мере того, как площадь сферы (которая определяется по формуле 4 \pi r^2) растёт пропорционально квадрату расстояния от источника (радиуса сферы), и как испущенное излучение удаляется всё дальше от источника, это излучение должно проходить через поверхность, площадь которой растёт пропорционально квадрату расстояния от источника. Следовательно, интенсивность излучения, проходящего через одну и ту же площадь, обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника.

Проявления[править | править вики-текст]

Гравитация[править | править вики-текст]

Гравитация — это взаимодействие между двумя объектами, обладающими массами. Такие объекты подчиняются закону всемирного тяготения:

Силы гравитационного взаимодействия между двумя точечными массами прямо пропорциональны произведению этих масс, и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними. Эти силы всегда действуют и направлены вдоль прямой, соединяющей эти точечные массы.

Если распределение масс в некотором материальном неточечном объекте обладает сферической симметрией, то такой объект может рассматриваться как точечная масса (материальная точка).

Однако, если мы хотим рассчитать силу взаимодействия между массивными телами, мы должны сложить векторно силы взаимодействия между всеми парами точечных масс, образующих данные массивные тела, и результирующее взаимодействие может не подчиняться закону обратных квадратов. В то же время, при существенном различии масс гравитирующих тел (если мала разность приведенной массы и массы более тяжелого тела), изотропное распределение масс тяжелого тела позволяет аппроксимировать его притяжение его массой, помещенной в центре его сферы.

Как закон обратных квадратов закон всемирного тяготения был сформулирован в 1645 году Исмаэлем Буйо (Булиальдом). Это отличалось от предположения Иоганна Кеплера об обратно пропорциональной зависимости от расстояния. Но Булиальд не признавал справедливость ни второго и третьего законов Кеплера, ни решения Христиана Гюйгенса для движения по окружности. Буллиальд считал, что солнце притягивается в афелии и отталкивается в перигелии.

Роберт Гук и Джованни Альфонсо Борели в 1666 году подробно описали гравитационную силу как притягивающую силу [1]. В лекции в 1670 году Гук объяснил, что гравитация свойственна «всем небесным телам» и ввёл принцип, утверждающий, что сила гравитации убывает с расстоянием. К 1679 году Гук пришёл к выводу, что гравитация имеет обратно пропорциональную зависимость квадрату расстояния. Он сообщил это в письме к Исааку Ньютону. Гук был достаточно резок, несмотря даже на то, что в своей работе «Начала» Ньютон признал, что Гук наряду с Реном и Галлеем независимо друг от друга применяли закон обратных квадратов для солнечной системы[2], также как отдал дань уважения Буллиальду.

Электростатика[править | править вики-текст]

Сила притяжения или отталкивания, действующая между двумя заряженными частицами, в добавление к прямо пропорциональной зависимости от произведения зарядов, является обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Это утверждение известно под названием закона Кулона.

Свет и другие виды электромагнитного излучения[править | править вики-текст]

Интенсивность света (то есть, энергия, приходящаяся на единицу площади в единицу времени) или других линейных волн, исходящих от точечного источника обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника. Это значит, например, что объект, перемещённый на расстояние в 2 раза большее от источника, получает только четверть той мощности, которую он получал в первоначальном положении.

Например, интенсивность солнечных лучей составляет 9140 Вт на квадратный метр на орбите Меркурия, но лишь 1370 Вт на орбите Земли (на ту же площадь) — трёхкратное увеличение расстояния влечёт девятикратное уменьшение интенсивности солнечных лучей.

Следует отметить, что в отличие от интенсивности и от поля в статическом случае, амплитуда напряжённости электрического поля и магнитной индукции в электромагнитной волне от точечного источника падает обратно пропорционально первой степени расстояния:

E_a,B_a \propto {1 \over r}

Закон обратных квадратов может быть применён только в случае точечных источников света; весьма распространённые в помещениях цилиндрические лампы дневного света, тем более помещенные в ряд, не являются точечными источниками (пока их характерный размер не является пренебрежимо малым), и поэтому к ним нельзя применять закон обратных квадратов (пока их характерный размер велик, к ним примени закон обратного расстояния); равномерно светящаяся плоская поверхность дает постоянную освещенность на расстояниях, малых по сравнению с ее размером.

Закон обратных квадратов имеет некоторое значение в диагностической рентгенографии и радиационной терапии для расчёта дозы облучения. Однако эта пропорциональность не соблюдается в практических случаях, несмотря даже на то, что размеры источников облучения намного меньше расстояний до объекта облучения (почему???).

Приложения в теории поля[править | править вики-текст]

Для безвихревого векторного поля в трёхмерном пространстве закон обратных квадратов связан с тем свойством, что дивергенция обращается в ноль вне источника.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Гравитация Гука ещё не была универсальной, хотя она приблизилась к всеобщей универсальности гораздо больше, чем предыдущие гипотезы: См. стр. 239 в Curtis Wilson (1989), «The Newtonian achievement in astronomy», ch.13 (стр. 233—274) в «Planetary astronomy from the Renaissance to the rise of astrophysics: 2A: Tycho Brahe to Newton», CUP 1989.
  2. Ньютон признавал роль Рена, Гука и Галлея в этой связи в Scholium to Proposition 4 в книге I (во всех изданиях): см., например, английский перевод «Начал» от 1729 года, на стр. 66.