Кологарифм

Кологари́фм, дополни́тельный логари́фм — редко используемая элементарная функция, логарифм обратного числа:

$\operatorname {colog} _{b}x\equiv \log _{b}{\frac {1}{x}}.$

Обозначение colog_b x читается как «кологарифм x по основанию b». Для некоторых оснований используются специальные обозначения:

• натуральный кологарифм coln x = colog_e x = ln(1/x);
• десятичный кологарифм colg x = colog₁₀ x = lg(1/x);
• бинарный кологарифм colb x = colog₂ x = lb(1/x).

Тождества

$\operatorname {colog} _{b}x\equiv -\log _{b}x\equiv \log _{1/b}x.$

Применение

Таблицы кологарифмов использовались в эпоху ручных вычислений, позволяя упростить вычисления логарифмов дробей путём замены вычитания сложением. Кологарифм очень удобно ранее посчитать на логарифмической линейке. Например, для вычисления дроби xy/(zw) при ручном счёте надо просуммировать логарифмы величин x и у, вычесть из суммы логарифмы величин z и w, а затем потенцировать результат (т.е. возвести основание логарифмов в степень, равную результату, найдя в таблице число, логарифм которого равен результату). При использовании кологарифмов можно вместо сложения и двух вычитаний выполнить три сложения log x + log y + colog z + colog w, что удобнее при вычислениях в столбик. При этом для записи отрицательных логарифмов и кологарифмов используется «искусственная форма», содержащая отрицательную характеристику (целую часть) и положительную мантиссу (дробную часть) (см. Десятичный логарифм): $-0{,}30103={\bar {1}}{,}69897$.

В химии логарифмические значения активности, концентрации и т. п., такие как водородный показатель pH, показатель константы диссоциации кислоты (показатель константы кислотности) pK_a и показатель константы диссоциации основания (показатель константы основности) pK_b, обозначаемые с использованием буквы p (от лат. potentia), являются десятичными кологарифмами соответствующих величин:

$\mathrm {p} K_{a}=-\lg K_{a}=\operatorname {colg} K_{a},$

$\mathrm {p} K_{b}=-\lg K_{b}=\operatorname {colg} K_{b}.$

Литература

• Weisstein, Eric W. Cologarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Hall A. G., Frink F. G. Chapter IV. Logarithms [28] Cologarithms // Trigonometry (неопр.). — New York, USA: Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. — Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA, 1909. — Т. Part I: Plane Trigonometry. — С. 36.
• Holman S. W. Cologarithms = Logarithms of Reciprocals // Computation rules and logarithms, with tables of other useful functions (англ.). — New York, London: Macmillan & Co, 1896. — P. xxxi—xxxii.