Десятичный логарифм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График десятичного логарифма

Десятичный логарифмлогарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа b есть решение уравнения ~10^x=b.

Десятичный логарифм числа b существует, если ~b>0. Принято (спецификация ISO 31-11) обозначать его ~\lg\,b. Примеры:

\lg\,1=0;\, \lg\,10=1;\, \lg\,100=2
\lg\,1000000=6;\, \lg\,0{,}1=-1;\, \lg\,0{,}001=-3

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: ~\operatorname{log}, \operatorname{Log}, \operatorname{Log10}, причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Алгебраические свойства[править | править вики-текст]

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны[1]:

Формула Пример
Произведение  \lg(x y) = \lg (x) + \lg (y) \,  \lg (10000) = \lg(100 \cdot 100) = \lg (100) + \lg (100) = 2 + 2 = 4 \,
Частное от деления \lg \!\left(\frac x y \right) = \lg (x) - \lg (y) \,  \lg \left(\frac{1}{1000}\right) = \lg (1) - \lg (1000) = 0 - 3 = -3
Степень \lg(x^p) = p \lg (x) \,  \lg (10000000) = \lg (10^7) = 7 \lg (10) = 7 \,
Корень \lg \sqrt[p]{x} = \frac {\lg (x)} p \,  \lg \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\lg 1000 = \frac{3}{2} = 1{,}5

Существует очевидное обобщение приведенных формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

\lg |x y| = \lg (|x|) + \lg (|y|),
\lg \!\left|\frac x y \right| = \lg (|x|) - \lg (|y|),

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

 \lg(x_1 x_2 \dots x_n) = \lg (x_1) + \lg (x_2) + \dots + \lg (x_n)

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел x, y с помощью логарифмических таблиц[⇨] производилось по следующему алгоритму:

  1. Найти в таблицах логарифмы чисел x, y.
  2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения x \cdot y.
  3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов[2]:

\ln x \approx 2{,}30259\ \lg x; \quad \lg x \approx 0{,}43429\ \ln x

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

\lg\,0{,}012=\lg\,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg\,1{,}2\approx-2+0{,}079181=-1{,}920819

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

\lg\,0{,}012\approx-2+0{,}079181=\bar{2}{,}079181

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Функция десятичного логарифма[править | править вики-текст]

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: ~y = \lg\,x. Она определена при всех ~x>0. Область значений: E(y)=(-\infty; + \infty ). График этой кривой часто называется логарифмикой[3].

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

\frac {d} {dx} \lg\, x = \frac {\lg\, e} {x}

Ось ординат (x=0) является левой вертикальной асимптотой, поскольку:

\lim_{x \to 0+0} \lg\, x = - \infty

Применение[править | править вики-текст]

Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть L логарифма числа x (характеристику логарифма) легко определить.

  • Если x>1, то L на 1 меньше числа цифр в целой части числа x. Например, сразу очевидно, что lg 345 находится в промежутке (2, 3).
  • Если x<1, то ближайшее к L целое (в меньшую сторону) равно общему числу нулей в x перед первой ненулевой цифрой, взятому со знаком минус. Например, lg 0,0014 находится в интервале (-3, -2).

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на n разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n. Например:

\lg 8314{,}63 = \lg 8{,}31463 + 3

Отсюда следует, что достаточно составить таблицу мантисс (дробных частей) десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным[4]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Десятичные логарифмы для чисел вида 5 × 10n
Число логарифм характеристика мантисса запись
n lg(n) C = floor(lg(n) ) M = (lg(n) − характеристика)
5 000 000 6.698 970... 6 0.698 970... 6.698 970...
50 1.698 970... 1 0.698 970... 1.698 970...
5 0.698 970... 0 0.698 970... 0.698 970...
0.5 −0.301 029... −1 0.698 970... 1.698 970...
0.000 005 −5.301 029... −6 0.698 970... 6.698 970...

Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел одна и та же мантисса.

Десятичная логарифмическая шкала на логарифмической линейке

История[править | править вики-текст]

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера, Carl Bremiker)[5].

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого[6]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов[7]:

  1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
  2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

Литература[править | править вики-текст]

Теория логарифмов
История логарифмов

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]