Коэффициент связи резонаторов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Коэффициент связи резонаторов — безразмерная величина, характеризующая степень взаимодействия двух резонаторов

Коэффициенты связи используют в теории резонаторных фильтров. Резонаторы фильтров могут быть как электромагнитными, так и акустическими. Вместе с резонансными частотами и внешними добротностями резонаторов коэффициенты связи являются обобщенными параметрами фильтров. Для осуществления настройки амплитудно-частотной характеристики фильтра бывает вполне достаточно ограничиться оптимизацией только этих обобщенных параметров.


Эволюция определения термина[править | править исходный текст]

Этот термин в теорию фильтров впервые ввел M. Dishal [1]. В некоторой степени он является аналогом коэффициента связи двух индуктивностей или коэффициентов связи двух колебательных контуров. Значение этого термина многократно уточнялось с развитием теории связанных резонаторов и фильтров. Более поздние определения коэффициента обобщают или уточняют предшествующие определения.

Коэффициент связи, рассматриваемый как положительная константа[править | править исходный текст]

Из ранних определений коэффициента связи резонаторов широко известны определения, содержащееся в монографии Г. Маттея и др [2]. Следует сразу оговориться, что эти определения являются приближенными, так как они сформулированы в предположении, что связь между резонаторами достаточно мала. В монографии [2] коэффициент связи k для случая двух одинаковых резонаторов определяется формулой

k=|f_o-f_e|/f_0, (1)

где f_e, f_o – частоты четных и нечетных связанных колебаний ненагруженной пары резонаторов, а f_0=\sqrt{f_of_e}. Видно, что коэффициент связи, выражаемый формулой (1), является положительной константой, характеризующей взаимодействие резонаторов на резонансной частоте f_0.

В случае, когда паре связанных резонаторов с одинаковыми резонансными частотами можно сопоставить соответствующую эквивалентную схему с инвертором сопротивления (проводимости), нагруженным с обеих сторон на резонансные двухполюсники, коэффициент связи k определяется формулой

k=K_{12}/\sqrt{x_1x_2} (2)

для резонаторов последовательного типа и формулой

k=J_{12}/\sqrt{b_1b_2} (3)

для резонаторов параллельного типа. Здесь K_{12}, J_{12} – параметры инвертора сопротивления и инвертора проводимости, x_1, x_2 – параметры крутизны реактивного сопротивления первого и второго резонатора последовательного типа на резонансной частоте f_0, а b_1, b_2 – параметры крутизны реактивной проводимости первого и второго резонатора параллельного типа.

Когда резонаторами являются колебательные LC-контуры, коэффициент связи, согласно формулам (2) и (3), принимает значение

k_L=L_m/\sqrt{L_1L_2} (4)

для резонаторов с индуктивной связью и значение

k_C=C_m/\sqrt{(C_1+C_m)(C_2+C_m)} (5)

для резонаторов с емкостной связью. Здесь L_1, C_1 – индуктивность и емкость первого контура, L_2, C_2 – индуктивность и емкость второго контура, а L_m, C_m – межконтурная (взаимная) индуктивность и межконтурная емкость. Формулы (4) и (5) давно известны в теории электрических цепей. Они выражают значения коэффициентов индуктивной и емкостной связи колебательных контуров.

Коэффициент связи, рассматриваемый как имеющая знак константа[править | править исходный текст]

Уточнение приближенной формулы (1) было сделано в [3]. Точная формула имеет вид

k=(f_o^2-f_e^2)/(f_o^2+f_e^2). (6)

При выводе этого выражения использовались формулы (4) и (5). Формула (6) стала общепризнанной. Она в частности приведена в часто цитируемой монографии Дж-Ш. Хонга [4]. Видно, что коэффициент связи резонаторов k имеет отрицательное значение, если f_o<f_e.

Согласно определению (6), коэффициент индуктивной связи колебательных контуров k_L по-прежнему выражается формулой (4). Он имеет положительное значение при L_m>0 и отрицательное значение при L_m<0.

Коэффициент же емкостной связи колебательных контуров k_C всегда отрицателен. Согласно (6), формула (5) для коэффициента емкостной связи колебательных контуров приобретает иной вид

k_C=-C_m/\sqrt{(C_1+C_m)(C_2+C_m)}. (7)

Связь между электромагнитными резонаторами может осуществляться как по магнитному, так и по электрическому полю. Связь по магнитному полю характеризуют коэффициентом индуктивной связи k_L, а связь по электрическому полю — коэффициентом емкостной связи k_C. Абсолютные величины k_L и k_C обычно монотонно убывают с увеличением расстояния между резонаторами. Скорость убывания одного из них может отличаться от скорости убывания другого. Однако абсолютная величина суммы коэффициентов k_L и k_C может не только убывать, но и возрастать на некотором участке с увеличением расстояния [5].

Сложение коэффициентов индуктивной и емкостной связи резонаторов выполняется по формуле [3]

k=(k_L+k_C)/(1+k_Lk_C). (8)

Эта формула получается из определения (6) с учетом формул (4) и (7).

Следует заметить, что сам по себе знак коэффициента связи k значения не имеет. Свойства резонаторного фильтра не изменятся, если одновременно поменять в нем знаки всех коэффициентов связи. Однако он важен при сопоставлении двух коэффициентов связи и в частности при сложении коэффициентов индуктивной и емкостной связи.

Коэффициент связи, рассматриваемый как функция частоты вынужденных колебаний[править | править исходный текст]

Два связанных резонатора могут взаимодействовать не только на резонансных частотах. Это подтверждается возможностью передачи энергии вынужденных колебаний от одного резонатора к другому. Поэтому взаимодействие резонаторов правильнее характеризовать не множеством констант k_i, отвечающих дискретному спектру резонансных частот f_i, а одной непрерывной функцией частоты вынужденных колебаний k(f).

Очевидно, что эта функция должна отвечать условию

k(f)|_{f=f_i}=k_i. (9)

Кроме того, функция k(f) должна обращаться в нуль на тех частотах f_z, на которых отсутствует передача высокочастотной мощности от одного резонатора к другому, то есть должна отвечать и второму условию

k(f)|_{f=f_z}=0. (10)

Нуль передачи мощности в частности возникает в колебательных контурах с комбинированной индуктивно-емкостной связью, когда взаимная индуктивность L_m>0. Его частота f_z выражается формулой [6]

f_z=\sqrt{L_m/[(L_1L_2-L_m^2)C_m]}/(2\pi). (11)

На основе энергетического подхода в [6] было сформулировано определение функции k(f), обобщающей формулу (6) и удовлетворяющей условиям (9) и (10). Эта функция по формуле (8) выражается через частотно-зависимые коэффициенты индуктивной и емкостной связи k_L(f) и k_C(f), определяемые формулами

k_L(f)=\frac{\dot W_{12L}(f)} {\sqrt{ [\bar{W}_{11L}(f)+\bar{W}_{11C}(f)][\bar{W}_{22L}(f)+\bar{W}_{22C}(f)] } }, (12)

k_C(f)=\frac{\dot W_{12C}(f)} {\sqrt{ [\bar{W}_{11L}(f)+\bar{W}_{11C}(f)][\bar{W}_{22L}(f)+\bar{W}_{22C}(f)] } }. (13)

Здесь W обозначает энергию высокочастотного электромагнитного поля, запасаемую обоими резонаторами. Черта над W обозначает постоянную составляющую энергии, а точка — амплитуду колеблющейся составляющей энергии. Индекс L обозначает магнитную часть энергии, а индекс C — электрическую часть энергии. Индексы 11, 12 и 22 обозначают части запасаемой энергии, пропорциональные соответственно |U_1|^2, |U_1||U_2| и |U_2|^2, где U_1комплексная амплитуда напряжения на порте первого резонатора, а U_2 – комплексная амплитуда напряжения на порте второго резонатора.

Из определений (12) и (13) в частности получаются формулы для частотной зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи произвольных колебательных контуров [6]

k_L(f)=\frac{ L_m} {\sqrt{L_1L_2}}             \frac{2} {\sqrt{(1+f_1^{-2}f^2)   (1+f_2^{-2}f^2)   }}, (14)

k_C(f)=\frac{-C_m} {\sqrt{(C_1+C_m)(C_2+C_m)}} \frac{2} {\sqrt{(1+f_1^2 f^{-2})        (1+f_2^2 f^{-2})  }}. (15)

где f_1, f_2 – резонансные частоты первого и второго контура, возмущенные связями. Видно, что значения функций k_L(f) и k_C(f) при f=f_1=f_2 совпадают с константами k_L и k_C, определяемыми формулами (4) и (5). Кроме того, функция k(f), рассчитываемая по формулам (8), (14) и (15), обращается в нуль на частоте f_z, выражаемой формулой (11).

Коэффициенты связи в теории фильтров[править | править исходный текст]

Полосно-пропускающие фильтры с линейной топологией связей[править | править исходный текст]

Теория микроволновых узкополосных полосно-пропускающих фильтров с чебышёвской частотной характеристикой изложена в монографии [2]. В таких фильтрах резонансные частоты всех резонаторов настроены на центральную частоту заданной полосы пропускания f_0. Каждый из резонаторов связан не более чем с двумя соседними резонаторами. Каждый из двух крайних резонаторов связан с одним соседним резонатором и с одним из двух портов фильтра. Такую топологию связей резонаторов называют линейной. При линейной топологии связей существует только один канал прохождения микроволновой мощности от входного порта к выходному порту.

Для фильтров с линейной топологии связей в монографии [2] приведен вывод приближенных формул для значений коэффициентов связи соседних резонаторов k_{i,i+1}, отвечающих заданной амплитудно-частотной характеристике фильтра, где i и i+1 – порядковые номера связанных резонаторов. При выводе формул использовались фильтры-прототипы нижних частот, а также формулы (2) и (3). Амплитудно-частотные характеристики фильтров-прототипов описываются многочленами Чебышёва. Впервые эти формулы были опубликованы в [7]. Они имеют вид

k_{i,i+1}=\frac{f_2-f_1} {\sqrt{f_2f_1g_ig_{i+1}}}, (16)

где g_i (i=0,1,2...n+1) – нормированные параметры фильтра-прототипа нижних частот, n – порядок многочлена Чебышёва, равный числу резонаторов в фильтре, f_1, f_2 – граничные частоты полосы пропускания.

Значения нормированных параметров g_i для заданной полосы пропускания фильтра рассчитываются по формулам

g_0=1, g_1=2a_1/\gamma,

g_k=\frac{4a_{k-1}a_k} {b_{k-1}g_{k-1}},~ k=2,3\dots n, (17)

 g_{n+1}=1, если n четное,

 g_{n+1}=\mathrm{cth}\,^2(\beta /4), если n нечетное.

Здесь использованы обозначения

\beta=2 \mathrm{arth}\, \sqrt{10^{-\Delta L/10}}, \gamma= \mathrm{sh}\, (\frac{\beta}{2n}), (18)

a_k= \mathrm{sin}\, \frac{2(k-1) \pi} {2n}, b_k=\gamma ^2+ \mathrm{sin}\, ^2 (k \pi /n), (k=1,2...n),

где \Delta L – требуемая неравномерность затухания в полосе пропускания, выраженная в децибелах.

Формулы (16) являются приближенными не только потому, что при их выводе использовались приближенные определения коэффициентов (2) и (3). Точные выражения для коэффициентов связи в фильтре-прототипе были получены в [8]. Однако и после уточнения эти формулы остаются приближенными при конструировании реальных фильтров. Их точность зависит от конструкции фильтра и конструкции его резонаторов. Она повышается с уменьшением относительной ширины полосы пропускания.

В [9] было показано, что причина погрешности формул (16) и их уточненного варианта связана с частотной дисперсией коэффициентов связи, которая может сильно различаться для резонаторов и фильтров различных конструкций. Другими словами, оптимальные значения коэффициентов связи k_{i,i+1} на частоте f_0 зависят не только от параметров требуемой полосы пропускания фильтра, но и значений производных dk_{i,i+1}(f)/df|_{f=f_0}. Это значит, что точные значения коэффициентов k_{i,i+1}, обеспечивающих требуемую полосы пропускания фильтра, не могут быть заранее известны. Их можно установить лишь после оптимизации фильтра. Поэтому формулы (16) можно использовать только в качестве начальных значений для обобщенных параметров фильтров перед их оптимизацией.

Приближенные формулы (16) также позволяют установить ряд общих закономерностей, присущих любым фильтрам с линейной топологией связей. Например, увеличение текущей ширины полосы пропускания фильтра требует приблизительно пропорционального увеличения всех коэффициентов связи k_{i,i+1}. Коэффициенты k_{i,i+1} симметричны относительно центрального резонатора или центральной пары резонаторов даже в фильтрах с неравными волновыми сопротивлениями линий передачи на входном и выходном порте. Величина коэффициентов k_{i,i+1} монотонно убывает при переходе от крайних пар резонаторов к центральной паре.

Реальные конструкции фильтров с линейной топологией связи в отличие от их фильтров-прототипов могут иметь нули прохождения в полосах заграждения [10]. Нули прохождения существенно улучшают селективные свойства фильтров. Одной из причин возникновения нулей является частотная дисперсия коэффициентов связи k_{i,i+1} для одной или нескольких пар резонаторов фильтра, выражающаяся в их обращении в нуль на частоте нуля прохождения мощности [11].

Полосно-пропускающие фильтры с поперечными связями[править | править исходный текст]

Для формирования нулей прохождения в полосах заграждения фильтров с целью повышения их селективных свойств, в фильтрах помимо ближайших связей часто создают дополнительные связи между резонаторами, которые называют поперечными. Такие связи приводят к образованию нескольких каналов прохождения электромагнитной волны от входного порта фильтра к выходному порту. Амплитуды волн, прошедшие по разным каналам фильтра, при суммировании на выходе могут полностью погашаться на отдельных частотах, приводя к образованию нулей прохождения.

Для описания связей резонаторов в таких фильтрах используют матрицу связей \mathbf M размерности n \times n [12, 4]. Она симметрична. Ее каждый недиагональный элемент M_{ij} является коэффициентом связи i-го и j-го резонаторов k_{ij}. Каждый диагональный элемент M_{ii} является реактансом (иммитансом) i-го резонатора на центральной частоте f_0. В настроенном фильтре все элементы M_{ii} равны нулю, так реактансы на резонансных частотах обращаются в нуль.

Достоинством матриц \mathbf M является то, что они позволяют непосредственно рассчитать частотную характеристику для эквивалентной схемы фильтра, содержащей индуктивно связанные колебательные контуры [12, 4]. Поэтому их удобно использовать при проектировании фильтров с поперечными связями. В частности матрицы \mathbf M часто используют при оптимизации фильтров в качестве их грубой модели. Использование грубой модели позволяет многократно ускорить оптимизацию фильтра за счет того, расчет частотной характеристики грубой модели практически не требует затрат машинного времени по сравнению с расчетом характеристики реального фильтра.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  1. Dishal. M. Design of dissipative band-pass filters producing desired exact amplitude-frequency characteristics // Proc. IRE. — Sept. 1949. — Vol. 37. — № 9. — P. 1050–1069.
  2. Маттей Г.Л., Янг Л., Джонс Е.М.Т. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи. Т. 1. — М.: Связь, 1971. — 439 с.
  3. Тюрнев В.В., Беляев Б.А. Взаимодействие параллельных микрополосковых резонаторов // Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. — 1990. Вып. 4(428). — С. 25–30.
  4. Hong J-S. Microstrip filters for RF/microwave applications. — Hoboken: John Wiley & Sons, Inc., 2011. — 635 p.
  5. Беляев Б.А., Титов М.М., Тюрнев В.В. Коэффициент связи нерегулярных микрополосковых резонаторов // Известия вузов. Радиофизика. — 2000. — Т. 43. — № 8. — С. 722–727.
  6. Тюрнев В.В. Коэффициент связи асимметричной пары СВЧ резонаторов // Радиотехника и электроника. — 2002. — Т. 47. — № 1. — С. 5–13.
  7. Cohn S.B. Direct-coupled-resonator filter // Proc. IRE. — 1957. — V. 45. — № 2. — P. 187–196.
  8. Тюрнев В.В. Прямой вывод и уточнение обобщенных формул Кона-Маттея для коэффициентов связи резонаторов в фильтре сверхвысоких частот // Радиотехника и электроника. — 2008. — Т. 53. — № 5. — С. 584–587.
  9. Тюрнев В.В. Влияние частотной дисперсии коэффициентов связи резонаторов на погрешность формул прямого синтеза фильтров сверхвысоких частот // Радиотехника и электроника. — 2009. — Т. 54. — № 3. — С. 314–317.
  10. Беляев Б.А., Лексиков А.А., Тюрнев В.В. Частотно-селективные свойства многозвенных фильтров на регулярных микрополосковых резонаторах // Радиотехника и электроника. — 2004. — Т. 49. — № 11. — С. 1315–1324.
  11. Беляев Б.А., Тюрнев В.В. Частотно-зависимые коэффициенты связи микрополосковых резонаторов // Электронная техника. Сер. СВЧ-техника. — 1992. — Вып. 4(448). — С. 23–27.
  12. Cameron R.J., Kudsia C.M., Mansour R.R. Microwave filters for communication systems: fundamentals, design, and applications. — Hoboken: John Wiley & Sons, Inc., 2007. — 771 p.

Ссылки[править | править исходный текст]