Комплексная амплитуда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Компле́ксная амплитуда — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе гармонического сигнала.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть имеется гармонический сигнал:

 a(t) = A \cos \left( \omega t + \phi \right)

Сумма двух комплексных амплитуд в виде вращающихся векторов

Над сигналами, записанными в подобной форме, алгебраически неудобно производить такие арифметические операции, как сложение двух сигналов, вычитание из одного сигнала другого сигнала, умножение сигнала на константу. С целью облегчения этих операций гармонические сигналы представляют в виде комплексного числа, модуль которого равен амплитуде сигнала, а аргумент — фазе сигнала. При этом оригинальный сигнал равен действительной части данного комплексного числа:

 a(t) = A e^{i( \omega t + \phi )} = A e^{i\phi} e^{i \omega t} = \hat A e^{i \omega t}

здесь комплексной амплитудой гармонического сигнала является следующее выражение:

 \hat A = A e^{i \phi}

Физический смысл[править | править вики-текст]

Алгебраическая форма[править | править вики-текст]

Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует амплитуде косинусной (синфазной) компоненты, а мнимая — амплитуде синусной (квадратурной) компоненты исходного сигнала. Так, для сигнала (1) имеем:  a(t) = \Re(\hat A) \cos (\omega t) - \Im(\hat A) \sin ( \omega t)

где  \Re(\hat A) = A\cos (\phi), \quad \Im(\hat A) = A \sin (\phi)

Тригонометрическая форма[править | править вики-текст]

Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует амплитуде исходного гармонического сигнала, а аргумент — сдвигу фазы исходного гармонического сигнала относительно сигнала \cos {(\omega t)}.

Операции над комплексной амплитудой[править | править вики-текст]

К сигналам в пространстве комплексных амплитуд могут быть применены линейные операции. Другими словами, перечисленные ниже операции над комплексными амплитудами:

  • умножение комплексной амплитуды на константу
  • сложение комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте)
  • вычитание комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте)
  • интегрирование комплексной амплитуды по времени
  • дифференцирование комплексной амплитуды по времени

приводят к такому же результату, как если бы они были проделаны над соответствующими гармоническими сигналами, а затем от них взята комплексная амплитуда.

Ограничения[править | править вики-текст]

Несмотря на то, что в выражение для комплексной амплитуды не входит частота ω гармонического сигнала, следует помнить, что комплексная амплитуда описывает гармонический сигнал конкретной частоты. Поэтому в пространстве комплексных амплитуд недопустимы операции, которые:

  • принимают в качестве операндов комплексные амплитуды, описывающие гармонические сигналы разных частот.
  • меняют частоту гармонического сигнала или порождают новые частоты (все нелинейные операции, например, перемножение двух сигналов).

Применение[править | править вики-текст]

Комплексная амплитуда является полным и очень удобным способом описания гармонических сигналов, поскольку:

  • Характеризует и амплитуду, и фазу
  • Не содержит зависимости от времени
  • Позволяет использовать векторные диаграммы для анализа цепей на переменном токе

Использование комплексной амплитуды и импедансов позволяет свести задачу прохождения гармонического сигнала через линейную цепь (описывается системой дифференциальных уравнений) к более простой задаче, эквивалентной анализу цепи из резисторов на постоянном токе (описывается системой алгебраических уравнений).

См. также[править | править вики-текст]