Кратномасштабный анализ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кратномасштабный анализ (КМА) является инструментом построения базисов всплесков. Он был разработан в 1988/89 гг. Малла и И. Мейром. Идея кратномасштабного анализа заключается в том, что разложение сигнала производится по ортогональному базису, образованному сдвигами и кратномасштабными копиями вейвлетной функции. Свертка сигнала с вейвлетами позволяет выделить характерные особенности сигнала в области локализации этих вейвлетов.

Понятие кратномасштабного анализа (КМА) является фундаментальным в теории вейвлетов. Для кратномасштабного анализа разработан быстрый каскадный алгоритм вычислений, подобный быстрому преобразованию Фурье.

Определение[править | править вики-текст]

При выполнении КМА пространство сигналов L^2(\mathbb{R}) представляется в виде системы вложенных подпространств V_j\subset L^2(\mathbb{R}), j\in\mathbb Z,, отличающихся друг от друга перемасштабированием независимой переменной. Таким образом, кратномасштабным анализом (КМА) в L^2(\mathbb{R}) называется совокупность замкнутых пространств V_j(\mathbb{R}), j\in\mathbb Z, если выполнены некоторые условия.

(1) Условие вложенности:
 V_j\subset V_{j+1} для всех j\in\mathbb Z. Все пространство сигналов L^2(\mathbb{R}) в целом может быть представлено в виде последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств соответствующих уровней m декомпозиции сигнала;
(2) Условие полноты и плотности разбиения:
\bigcup\limits_{j\in\mathbb Z}V_j плотно в L^2(\mathbb{R});
(3) Условие ортогональности подпространств:
\bigcap\limits_{j\in\mathbb Z}V_j={0};
(4) Условие сохранения в подпространстве при сдвигах функций:
f(t)\in V_j \Leftrightarrow f(t+1)\in V_j;
(5) Масштабное преобразование любой функции f(t)\in V_j по аргументу в 2 раза перемещает функцию в соседнее подпространство:
f(t)\in V_j \Leftrightarrow f(2t)\in V_{j+1};
f(t)\in V_j \Leftrightarrow f(t/2)\in V_{j-1};
(6) Существует r(t)\in V_0, целочисленные сдвиги которой по аргументу образуют ортонормированный базис пространства V_0:
f_{0,k}(t) = f(t-k),     k\in\mathbb Z . Функция r(t) называется скейлинг-функцией (scaling function).

Свойства[править | править вики-текст]

Обозначим сдвиги и растяжения функции \,f: f_{k,n}(x)=2^{k/2} f(2^kx+n), k,n\in\mathbb Z.

  • Если f\in V_j, то f(\cdot\pm 2^{-j})\in V_j, j\in\mathbb Z.

Построение ортогональных базисов всплесков[править | править вики-текст]

Пусть \{V_j\}_{j\in\mathbb Z} образуют КМА. Обозначим за \,W_j ортогональное дополнение к \,V_j в пространстве \,V_{j+1}. Тогда пространство \,V_{j+1} раскладывается в прямую сумму V_{j+1}=V_j\bigoplus W_j. Таким образом, проводя последовательное разложение пространств \,V_j и учитывая условие (3) получим V_{j+1}=\bigoplus\limits_{i=-\infty}^j W_i. А используя условие (2), имеем: L_2(\mathbb R)=\overline{\bigoplus\limits_{j=-\infty}^{\infty}W_j}.

Таким образом, пространство L_2(\mathbb R) разложено в прямую сумму попарно ортогональных подпространств \,W_j. Важным является то, что функция \varphi порождает другую функцию \psi\in W_0, целочисленные сдвиги которой являются ортонормированным базисом в \,W_0. Построение такой \,\psi может быть осуществлено при помощи следующей теоремы.

Logo arte.jpg Теорема
Пусть \{V_j\}_{j\in\mathbb Z} — КМА с масштабирующей функцией \varphi, m_0=\frac 1 {\sqrt2}\sum\limits_{n\in\mathbb N} h_n e^{2\pi i n \xi} — её маска, система \{\varphi_{0n}\}_{n\in\mathbb Z} является ортонормированной,
\psi:=\sum\limits_{n\in\mathbb N}(-1)^{1-n}h_{1-n}\varphi_{1n}.

Тогда функции \psi_{jn}, j,n\in\mathbb Z образуют ортонормированный базис пространства L_2(\mathbb R).

Многомерный КМА[править | править вики-текст]

В общем случае n-мерного пространства ортонормированный базис образует 2n-1 функций, при помощи которых осуществляется КМА любой функции их L^2(\mathbb{R}^n) пространства, при этом нормировочный множитель равен 2^{nm/2}.

Примечания[править | править вики-текст]

  • Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets, (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1
  • Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А., Теория Всплесков, (2005), Физматлит, Москва, ISBN 5-9221-0642-2