Свёртка (математический анализ)

Свёртка фу́нкций — операция в функциональном анализе, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер. В математике, свёртка — это математическая операция двух функций f и g, порождающая третью функцию, которая обычно может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных. По существу, это особый вид интегрального преобразования.

Свертка двух прямоугольных импульсов: в результате даёт треугольный импульс.

Свертка прямоугольного импульса (входного сигнала) с импульсным откликом RC цепи

Свёртка функций

Пусть $f,g:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве $\mathbb{R}^d$. Тогда их свёрткой называется функция $f * g:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$, определенная формулой

$(f * g)(x)\ \ \,$

$\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{\mathbf{R}^d} f(y)\, g(x-y)\, dy = \int \limits_{\mathbf{R}^d} f(x-y)\, g(y)\, dy.$

В частности, при $\,d=1$ формула принимает вид:

$(f * g)(x)\ \ \,$

$\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(y)\, g(x-y)\, dy = \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x-y)\, g(y)\, dy.$

Свёртка $\,(f * g)(x)$ определена при почти всех $x \in {\mathbf{R}^d}$ и интегрируема.

Свойства

• Коммутативность:

$\, f * g = g * f$.

• Ассоциативность:

$\, f * (g * h) = (f * g) * h$.

• Линейность (дистрибутивность и умножение на число):

$\, (f_1+f_2) * g = f_1 * g + f_2 * g,\quad$

$\, f * (g_1+g_2) = f * g_1 + f * g_2,\quad$

$\, (a f) * g = a (f*g) = f * (ag), \quad \forall a \in \mathbb{R}$.

• Правило дифференцирования:

$\, \mathrm{D}(f * g) = \mathrm{D}f * g = f * \mathrm{D}g$,

где $\mathrm{D}f$ обозначает производную функции $f$ по любой переменной.

• Свойство Фурье-образа:

$\, \mathfrak{F}[f * g] = \mathfrak{F} [f] \cdot \mathfrak{F} [g]$,

где $\mathfrak{F}[f]$ обозначает преобразование Фурье функции $f$.

Свёртка на группах

Пусть $G$ — группа Ли, оснащённая мерой Хаара $m$, и $f,g:G \to \mathbb{R}$ — две функции, определённые на $G$. Тогда их свёрткой называется функция

$f * g(x) = \int\limits_G f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x \in G$.

Свёртка мер

Пусть есть борелевское пространство $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ и две меры $\mu,\nu: \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$. Тогда их свёрткой называется мера

$\mu * \nu (A) = \mu \otimes \nu \left(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x+y \in A \}\right),\quad \forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$,

где $\mu \otimes \nu$ обозначает произведение мер $\mu$ и $\nu$.

Свойства

• Пусть $\mu,\nu$ абсолютно непрерывны относительно меры Лебега $m$. Обозначим их производные Радона — Никодима:

$f_{\mu} = \frac{d\mu}{dm},\quad f_{\nu} = \frac{d\nu}{dm}$.

Тогда $\mu * \nu$ также абсолютно непрерывна относительно $m$, и её производная Радона — Никодима $f_{\mu * \nu} = \frac{d \mu * \nu}{dm}$ имеет вид

$f_{\mu * \nu} = f_{\mu} * f_{\nu}$.

• Если $\mu,\nu$ — вероятностные меры, то $\mu * \nu$ также является вероятностной мерой.

Свёртка распределений

Если $\mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y$ — распределения двух независимых случайных величин $X$ и $Y$, то

$\mathbb{P}^{X+Y} = \mathbb{P}^X * \mathbb{P}^Y$,

где $\mathbb{P}^{X+Y}$ — распределение суммы $X+Y$. В частности, если $X,Y$ абсолютно непрерывны и имеют плотности $f_X,f_Y$, то случайная величина $X+Y$ также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

$f_{X+Y} = f_X * f_Y$.

См. также

• Автокорреляционная функция
• Преобразование Фурье
• Свёртка последовательностей

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004 (7-е изд.).
• Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.

Ссылки

• Java-Applet
• Java-Applet

• Линейная и циклическая свертка  (рус.). Архивировано из первоисточника 26 августа 2011. Проверено 15 ноября 2010.