Свёртка (математический анализ)

Свёртка фу́нкций — операция в функциональном анализе, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер. В математике, свёртка — это математическая операция двух функций f и g, порождающая третью функцию, которая обычно может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных. По существу, это особый вид интегрального преобразования.

Свертка двух прямоугольных импульсов: в результате даёт треугольный импульс.

Свертка прямоугольного импульса (входного сигнала) с импульсным откликом RC цепи

Свёртка функций

Пусть $f,g:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве $\mathbb{R}^d$. Тогда их свёрткой называется функция $f * g:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$, определенная формулой

$(f * g)(x)\ \ \,$

$\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{\mathbf{R}^d} f(y)\, g(x-y)\, dy = \int \limits_{\mathbf{R}^d} f(x-y)\, g(y)\, dy.$

В частности, при $\,d=1$ формула принимает вид:

$(f * g)(x)\ \ \,$

$\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(y)\, g(x-y)\, dy = \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x-y)\, g(y)\, dy.$

Свёртка $\,(f * g)(x)$ определена при почти всех $x \in {\mathbf{R}^d}$ и интегрируема.

Свойства

• Коммутативность:

$\, f * g = g * f$.

• Ассоциативность:

$\, f * (g * h) = (f * g) * h$.

• Линейность (дистрибутивность и умножение на число):

$\, (f_1+f_2) * g = f_1 * g + f_2 * g,\quad$

$\, f * (g_1+g_2) = f * g_1 + f * g_2,\quad$

$\, (a f) * g = a (f*g) = f * (ag), \quad \forall a \in \mathbb{R}$.

• Правило дифференцирования:

$\, \mathrm{D}(f * g) = \mathrm{D}f * g = f * \mathrm{D}g$,

где Df обозначает производную функции f по любой переменной.

• Свойство Фурье-образа:

$\, \mathfrak{F}[f * g] = \mathfrak{F} [f] \cdot \mathfrak{F} [g]$,

где $\mathfrak{F}[f]$ обозначает преобразование Фурье функции f.

Свёртка на группах

Пусть G — группа Ли, оснащённая мерой Хаара m, и $f,g:G \to \mathbb{R}$ — две функции, определённые на G. Тогда их свёрткой называется функция

$f * g(x) = \int\limits_G f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x \in G$.

Свёртка мер

Пусть есть борелевское пространство $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ и две меры $\mu,\nu: \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$. Тогда их свёрткой называется мера

$\mu * \nu (A) = \mu \otimes \nu \left(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x+y \in A \}\right),\quad \forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$,

где $\mu \otimes \nu$ обозначает произведение мер μ и ν.

Свойства

• Пусть μ,ν абсолютно непрерывны относительно меры Лебега m. Обозначим их производные Радона — Никодима:

$f_{\mu} = \frac{d\mu}{dm},\quad f_{\nu} = \frac{d\nu}{dm}$.

Тогда μ * ν также абсолютно непрерывна относительно m, и её производная Радона — Никодима $f_{\mu * \nu} = \frac{d \mu * \nu}{dm}$ имеет вид

f_{μ * ν} = f_μ * f_ν.

• Если μ,ν — вероятностные меры, то μ * ν также является вероятностной мерой.

Свёртка распределений

Если $\mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y$ — распределения двух независимых случайных величин X и Y, то

$\mathbb{P}^{X+Y} = \mathbb{P}^X * \mathbb{P}^Y$,

где $\mathbb{P}^{X+Y}$ — распределение суммы X + Y. В частности, если X,Y абсолютно непрерывны и имеют плотности f_X,f_Y, то случайная величина X + Y также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

f_{X + Y} = f_X * f_Y.

Пример программы

Ниже приведен пример свертки, написанный на C++ :

/*
 * Размер выходной последовательности равен M + N - 1 
 */
double * сonv(double * x, int N, double * h, int M)
{
    double * result = new double[N + M - 1];
    memset(result, 0, sizeof(double) * (N + M - 1));
 
    for (int i = 0; i < N; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < M; ++j)
        {
            result[i + j] += x[i] * h[j];
        }
    }
 
    return result;
}

См. также

• Автокорреляционная функция
• Преобразование Фурье
• Свёртка последовательностей

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004 (7-е изд.).
• Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.

Ссылки

• Java-Applet
• Java-Applet

• Линейная и циклическая свертка  (рус.). Архивировано из первоисточника 26 августа 2011. Проверено 15 ноября 2010.