Базис

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:

  • Базис Га́меля, в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации. Базис Гамеля применяется в основном в абстрактной алгебре (в частности в линейной алгебре).
  • Базис Ша́удера, в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение в ряды. Это определение применяется в основном в функциональном анализе, в частности для гильбертова пространства,

В конечномерных пространствах обе разновидности базиса совпадают.

Происхождение термина[править | править вики-текст]

У Евклида и других древнегреческих математиков слово «базис» (βασις, в значении основание) обозначало горизонтальное основание плоской или пространственной фигуры. Современный математический смысл этому термину придал Дедекинд в статье 1885 года.

Элементарное введение: базис на плоскости и в трёхмерном пространстве[править | править вики-текст]

Базис в двумерном пространстве (то есть на плоскости). На диаграмме, голубой и оранжевый векторы — элементы базиса (или базисные векторы); зеленый вектор может быть представлен в виде суммы базисных векторов, умноженных на некоторые коэффициенты (зеленый = −2 голубой + 1 оранжевый), называемой линейной комбинацией и, таким образом, линейно зависим от них, как и любой другой вектор этого пространства (плоскости), каждый из которых тоже может быть представлен в виде линейной комбинации голубого и оранжевого с какими-то коэффициентами.

Любой декартовой системе координат на плоскости или в трёхмерном пространстве (также и в пространстве другой размерности) может быть сопоставлен базис, состоящий из векторов, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси. Это относится и к прямоугольным декартовым координатам (тогда соответствующий базис называется ортогональным), так и к косоугольным декартовым координатам (которым будет соответствовать неортогональный базис).

Часто удобно выбрать длину (норму) каждого из базисных векторов единичной, такой базис называется нормированным.

Наиболее часто базис выбирают ортогональным и нормированным одновременно, тогда он называется ортонормированным.

В любом векторном пространстве базис можно выбрать различным образом (поменяв направления его векторов или их длины, например).

Декартовы координаты в трёхмерном пространстве (левая (на рисунке слева) и правая (справа) декартовы системы координат (левый и правый базисы). Принято по умолчанию использовать правые базисы (это общепринятое соглашение, если только какие-то особые причины не заставляют от него отойти — и тогда это оговаривается явно). Базисом, соответствующим такой системе координат, является тройка векторов, каждый из которых направлен вдоль какой-то из осей (три базисных вектора изображаются, как правило, исходящими из общего начала).

Обозначения[править | править вики-текст]

Обозначение векторов базиса может быть в принципе произвольным. Часто используют какую-нибудь букву с индексом (числовым или совпадающим с названием координатной оси), например:

\vec e_1, \vec e_2

или

\vec e_x, \vec e_y

— типичные обозначения базиса двумерного пространства (плоскости).

\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3

или

\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z

— трехмерного пространства. Для трехмерного пространства часто по традиции используется и обозначение

\vec i, \vec j, \vec k.

Представление какого-то конкретного (любого) вектора \vec aпространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например

\vec a = a_x\vec e_x + a_y\vec e_y + a_z\vec e_z

или

\vec a = a_1\vec e_1 + a_2\vec e_2 + a_3\vec e_3

или, употребляя знак суммы \Sigma:

\vec a = \sum_{i=1}^3 a_i\vec e_i

называется разложением этого вектора по этому базису.

Числовые коэффициенты (a_x,a_y,a_z) называются коэффициентами разложения, а их набор в целом — представлением (или представителем) вектора \vec a в базисе \vec e_x, \vec e_y, \vec e_z. (Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании — как показано выше — дают один и тот же вектор).

Базис Гамеля[править | править вики-текст]

Базис Га́меля (англ. Hamel basis) — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), и такое представление для любого вектора единственно.

Критерием единственности решения задачи разложения вектора по полной системе векторов является линейная независимость векторов, входящих в полную систему. Линейная независимость означает, что всякая линейная комбинация векторов системы, в которой хотя бы один коэффициент ненулевой, имеет ненулевую сумму. То есть это эквивалентно единственности разложения нулевого вектора.

В случае линейных пространств, когда всякий ненулевой коэффициент обратим, линейная независимость эквивалентна невозможности выразить какой-либо вектор полной системы линейной комбинацией остальных векторов. (В более общей ситуации — модулей над кольцами — эти два свойства неэквивалентны). Невозможность выразить никакой вектор базиса через остальные означает минимальность базиса как полной системы векторов — при удалении любого из них теряется полнота.

В вопросе о существовании базисов основной является следующая лемма (доказательство этой леммы в общем случае неконструктивно и использует аксиому выбора):

Лемма. Пусть S_1 — полная, а S_2 — линейно независимая система векторов. Тогда система S_1 содержит набор векторов, дополняющий S_2 до базиса пространства V.

Следствием этой леммы являются утверждения:

  1. Каждое линейное пространство обладает базисом.
  2. Базис пространства можно выделить из любой полной системы векторов.
  3. Всякую линейно независимую систему можно дополнить до базиса пространства V.

Любые два базиса в линейном пространстве равномощны, так что мощность базиса — величина, независящая от выбора базисных векторов. Она называется размерностью пространства (обозначается \dim V). Если линейное пространство имеет конечный базис, его размерность конечна и оно называется конечномерным, в противном случае его размерность бесконечна, и пространство называется бесконечномерным.

Выбранный базис линейного пространства позволяет ввести координатное представление векторов, чем подготавливается использование аналитических методов.

Линейное отображение из одного линейного пространства в другое однозначно определено, если задано на векторах какого-нибудь базиса. Комбинация этого факта с возможностью координатного представления векторов предопределяет применение матриц для изучения линейных отображений векторных пространств (в первую очередь — конечномерных). При этом многие факты из теории матриц получают наглядное представление и приобретают весьма содержательный смысл, когда они выражены на языке линейных пространств. И выбор базиса при этом служит хоть и вспомогательным, но в то же время ключевым средством.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Векторы e_1, e_2,\dots,e_n пространства \R^n образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0: \det\{e_1, e_2,\dots,e_n\} \neq 0.
  • В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции: 1, x, x^2,\dots,x^n,\dots.
  • Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

Базис Гамеля и разрывная линейная функция[править | править вики-текст]

Базис Гамеля может быть использован для построения разрывной вещественной функции, удовлетворяющей условию f(x+y)=f(x)+f(y). Пусть \{r_\alpha\} — базис Гамеля множества действительных чисел \mathbb{R} над полем рациональных чисел \mathbb{Q}. Тогда для каждого x = k_{\alpha_1} r_{\alpha_1} + \cdots + k_{\alpha_n} r_{\alpha_n} (k_i \in \mathbb{Q}) положим f(x) = k_{\alpha_1} + \cdots + k_{\alpha_n}. Функция f(x) линейна по построению, однако не может быть непрерывной, так как принимает только рациональные значения.

Базис Шаудера[править | править вики-текст]

Система векторов \{e_n\} топологического векторного пространства L называется базисом Шаудера (в честь Шаудера (англ.)), если каждый элемент f \in L разлагается в единственный, сходящийся к f ряд по \{e_n\}:

f= \sum_{i=1}^{\infty} f_i e_i ,

где f_i — числа, называемые коэффициентами разложения вектора f по базису \{e_n\}.

Чтобы подчеркнуть отличие определения базиса Гамеля для общих линейных пространств (допускаются только конечные суммы) от базиса Шаудера для топологических векторных пространств (допускается разложение в сходящийся ряд), для первого часто используют термин линейный базис, оставляя термин базис для разложений в ряды. Мощность линейного базиса называют также линейной размерностью. В конечномерных пространствах эти определения совпадают из-за конечности базиса. В бесконечномерных пространствах эти определения существенно различаются и линейная размерность может быть строго больше мощности базиса Шаудера.

Например, никакое бесконечномерное Гильбертово пространство не имеет счетного линейного базиса, хотя может иметь счетные базисы Шаудера с разложением в ряд, в том числе, ортонормированные базисы. Все ортонормированные базисы Гильбертовых пространств являются базисами Шаудера, например, множество функций \{1,\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2\pi nx), \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(2\pi nx)\mid n=1,2,\dots\} является базисом Шаудера в пространстве L^2[0,1]. В более общих банаховых пространствах понятие ортонормированного базиса неприменимо, но часто удаётся построить базисы Шаудера, не использующие ортогональности.

Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций C[a,b][править | править вики-текст]

C[a,b] — банахово пространство с нормой \|f\| = \max_{x \in [a,b]}|f(x)|. Для разложений в ряды Фурье и обобщенные ряды Фурье по ортонормированным системам функций легко доказывается сходимость в Гильбертовом пространстве L^2[a,b], но не в C[a,b]. Шаудер сконструировал базис Шаудера \{e_n\} для C[a,b]. Пусть \{x_0, x_1,\dots,x_n,\dots\} — плотное счетное множество точек на [a,b], x_0=a, x_1=b, остальные точки могут быть, например, всеми рациональными точками отрезка [a,b], упорядоченными произвольным образом. Положим: e_0=1, e_1=(x-a)/(b-a) — линейная функция. Определим кусочно-линейную функцию e_n(x) так, чтобы e_n(x_i)=0 при i=0,1,\dots,n-1 и e_n(x_n)=1. Точки x_0, x_1, x_2,\dots,x_{n-1} разбивают [a,b] на n-1 отрезок. Точка x_n лежит строго внутри одного из них. Пусть это I_n=[x_j,x_k] для каких-то j, k \in \{0,\dots,n-1\} (порядок нумерации чисел x_0, x_1, x_2,\dots не соответствует их величине).

Разложение непрерывной функции по базису Шаудера. Показано построение L_{5}(x). Красным цветом на графике выделен участок, на котором L_{5} отличается от L_{4} (синяя ломаная).

Положим:

e_n(x)=0 вне отрезка I_n=[x_j,x_k],
e_n(x)=\frac{x-x_j}{x_n-x_j} при x \in [x_j,x_n],
e_n(x)=\frac{x_k-x}{x_k-x_n} при x \in [x_n,x_k].

Полученная система кусочно-линейных «шапочек» и есть искомый базис Шаудера. Коэффициенты разложения произвольной функции f(x) \in C[a,b] по этому базису выражаются по явным реккурентным формулам через последовательность значений f(x_i). Частичная сумма первых n+1 членов ряда

L_n(x)= \sum_{i=0}^{n} f_i e_i(x) ,

является в данном случае кусочно-линейной аппроксимацией f(x) с узлами в точках x_0, x_1, x_2,\dots,x_{n}; формула для коэффициентов f_n =f(x_n)-L_{n-1}(x_n); \; \; f_0=f(a) (см. Рис.)

Проблема базиса[править | править вики-текст]

Базисы Шаудера построены для большинства известных примеров банаховых пространств, однако проблема Банаха — Шаудера о существовании базиса Шаудера в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 году была решена отрицательно: существуют сепарабельные банаховы пространства без базиса Шаудера (контрпримеры Энфло, Шанковского, Дэви и Фигеля).

Применение в кристаллографии[править | править вики-текст]

В векторной алгебре с помощью векторного произведения и смешанного произведения определяется понятие взаимного базиса к базису в трёхмерном евклидовом пространстве и используется для доказательства некоторых утверждений, связанных со смешанным произведением и углами между векторами[1]:212-214. В кристаллографии взаимный базис называется кристаллографическим определением базиса, на основе которого определяется обратная решётка.

См. также[править | править вики-текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «базис»

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.

Литература[править | править вики-текст]