Матричная оптика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Матричная оптика - математический аппарат расчета оптических систем различной сложности.

Принцип[править | править вики-текст]

Пусть известно направление распространения светового луча перед оптической системой. Пусть y_1 — "высота" луча над главной оптической осью системы, v_1 — приведенный угол: v_1 = n\times\alpha, где \alpha — угол между направлением распространения луча и главной оптической осью системы, n — показатель преломления среды в данной точке. Тогда соответствующие координаты луча после прохождения оптической системы связаны с исходными матричным уравнением:
\begin{bmatrix}
 y_2\\
 v_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 A & B\\
 C & D
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
y_1\\
v_1
\end{bmatrix},

где \begin{bmatrix}
 A & B\\
 C & D
\end{bmatrix}матрица оптической системы, также именуемая матрица передачи луча.

Определитель матрицы оптической системы равен отношению показателей преломления на входе и на выходе системы, обычно это отношение равно 1. Матричное преобразование — это приближенное линейное описание системы. Оно работает, в частности, когда выполняется параксиальное приближение.

Матрицы простейших оптических систем[править | править вики-текст]

Сферическая преломляющая поверхность[править | править вики-текст]

M = \begin{bmatrix}
 1 & 0\\
 -\Phi_1 & 1
\end{bmatrix}, \Phi_1 = \frac{n_2-n_1}{R} , где n_1 и n_2 — показатели преломления среды (Подразумевается, что луч переходит из среды с n_1 в среду с n_2), R — алгебраический радиус кривизны сферической поверхности (R > 0 для выпуклой поверхности, когда сонаправлены падающий луч и радиус-вектор в центр кривизны поверхности, и R < 0 для вогнутой поверхности).

Сферическое зеркало[править | править вики-текст]

M = \begin{bmatrix}
 1 & 0\\
 -\Phi_2 & 1
\end{bmatrix}, \Phi_2 = -\frac{2\cdot n}{R} , где nпоказатель преломления среды, R — алгебраический радиус кривизны (см. выше).

Трансляция[править | править вики-текст]

Трансляцией называется прямолинейное распространение луча между преломлениями/отражениями,например, между двумя линзами.
M = \begin{bmatrix}
 1 & T\\
 0 & 1
\end{bmatrix},  T = \frac{d}{n} , d — длина трансляции, n — показатель преломления.

Применение метода[править | править вики-текст]

Итоговая матрица оптической системы есть произведение матриц отдельных простейших элементов, причем в порядке, противоположном порядку этих элементов, т. е.  M = M_n \times \cdot \cdot \cdot \times M_2 \cdot M_1, где M_i - матрица i-того оптического элемента, считая от положения падающего на систему луча.
Оптическая сила оптической системы:
\Phi = -C
B = 0, y_2 = A \cdot y_1 - общее условие формирования изображения в данной точке. В данном случае A есть увеличение системы.

Расчет оптической силы толстой линзы матричным методом[править | править вики-текст]

Пусть линза с радиусами кривизны R_1, R_2 (для определенности - двояковыпуклая), толщиной d, из материала с показателем преломления n находится в воздухе. Тогда оптическая система состоит из трех простейших элементов - двух преломляющих поверхностей и трансляции внутри линзы. Имеем: M_1 = \begin{bmatrix}
 1 & 0\\
 -\Phi_1 & 1
\end{bmatrix}
M_2 = \begin{bmatrix}
 1 & T\\
 0 & 1
\end{bmatrix}
M_3 = \begin{bmatrix}
 1 & 0\\
 -\Phi_2 & 1
\end{bmatrix}
Матрица всей оптической системы:
M = M_3 \cdot M_2 \cdot M_1 = \begin{bmatrix}
 1 & 0\\
 -\Phi_2 & 1
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
 1 & T\\
 0 & 1
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
 1 & 0\\
 -\Phi_1 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
 1 - T\Phi_1 & T\\
 T\Phi_1\Phi_2 - \Phi_1 - \Phi_2 & 1 - T\Phi_2
\end{bmatrix}
Отсюда оптическая сила толстой линзы:
 \Phi = -C = \Phi_1 + \Phi_2 - \frac{d\Phi_1\Phi_2}{n}
Для тонкой линзы третьим слагаемым можно пренебречь:
 \Phi = -C = \Phi_1 + \Phi_2
С учетом  \Phi_1 = \frac{n-1}{R_1}, \Phi_2 = \frac{n-1}{R_2}
, получаем известную формулу для оптической силы линзы:  \Phi  = (n-1)\cdot (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}).

Литература[править | править вики-текст]

  • Джеррард А., Бёрч Дж. М. Введение в матричную оптику. М. Мир 1978г. 341с.
  • Салех Б.Е.А., Тейх М.К. Оптика и фотоника. Принципы и применения. Пер. с англ.: Учебное пособие. В 2 т. Долгопрудный: Интеллект, 2012. — 1544 с. — Раздел 1.4, стр. 50-68.