Матричная оптика

Матричная оптика - математический аппарат расчета оптических систем различной сложности.

Принцип

Пусть известно направление распространения светового луча перед оптической системой. Пусть $y_1$ - "высота" луча над главной оптической осью системы, $v_1$ - приведенный угол: $v_1 = n\times\alpha$, где $\alpha$ - угол между направлением распространения луча и главной оптической осью системы, n - показатель преломления среды в данной точке. Тогда соответствующие координаты луча после прохождения оптической системы связаны с исходными матричным уравнением:
$\begin{bmatrix} y_2\\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B\\ C & D \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} y_1\\ v_1 \end{bmatrix}$ , где $\begin{bmatrix} A & B\\ C & D \end{bmatrix}$ - матрица оптической системы. Определитель любой матрицы оптической системы равен 1.

Матрицы простейших оптических систем

Сферическая преломляющая поверхность

$M = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ -\Phi_1 & 1 \end{bmatrix}$, $\Phi_1 = \frac{n_2-n_1}{R}$, где $n_1$ и $n_2$ - показатели преломления среды(Подразумевается, что луч переходит из среды с $n_1$ в среду с $n_2$), R - алгебраический радиус кривизны поверхности( R > 0, если падающий луч и радиус-вектор в центр кривизны поверхности сонаправлены, и R < 0 в противном случае).

Сферическое зеркало

$M = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ -\Phi_2 & 1 \end{bmatrix}$, $\Phi_2 = -\frac{2\cdot n}{R}$, где $n$ - показатель преломления среды, R - алгебраический радиус кривизны.

Трансляция

Трансляцией называется прямолинейное распространение луча между преломлениями/отражениями,например, между двумя линзами.
$M = \begin{bmatrix} 1 & T\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $T = \frac{d}{n}$, d - длина трансляции, n - показатель преломления.

Применение метода

Итоговая матрица оптической системы есть произведение матриц отдельных простейших элементов, причем в порядке, противоположном порядку этих элементов, т. е. $M = M_n \times \cdot \cdot \cdot \times M_2 \cdot M_1$, где $M_i$ - матрица i-того оптического элемента, считая от положения падающего на систему луча.
Оптическая сила оптической системы:
$\Phi = -C$
$B = 0, y_2 = A \cdot y_1$ - общее условие формирования изображения в данной точке. В данном случае A есть увеличение системы.

Расчет оптической силы толстой линзы матричным методом

Пусть линза с радиусами кривизны $R_1, R_2$ (для определенности - двояковыпуклая), толщиной d, из материала с показателем преломления n находится в воздухе. Тогда оптическая система состоит из трех простейших элементов - двух преломляющих поверхностей и трансляции внутри линзы. Имеем: $M_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ -\Phi_1 & 1 \end{bmatrix}$
$M_2 = \begin{bmatrix} 1 & T\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$M_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ -\Phi_2 & 1 \end{bmatrix}$
Матрица всей оптической системы:
$M = M_3 \cdot M_2 \cdot M_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ -\Phi_2 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & T\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0\\ -\Phi_1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - T\Phi_1 & T\\ T\Phi_1\Phi_2 - \Phi_1 - \Phi_2 & 1 - T\Phi_2 \end{bmatrix}$
Отсюда оптическая сила толстой линзы:
$\Phi = -C = \Phi_1 + \Phi_2 - \frac{d\Phi_1\Phi_2}{n}$
Для тонкой линзы третьим слагаемым можно пренебречь:
$\Phi = -C = \Phi_1 + \Phi_2$
С учетом $\Phi_1 = \frac{n-1}{R_1}, \Phi_2 = \frac{n-1}{R_2}$
, получаем известную формулу для оптической силы линзы: $\Phi = (n-1)\cdot (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})$.

Литература

• Джеррард А., Бёрч Дж. М. Введение в матричную оптику. М. Мир 1978г. 341с.