Нелинейная задача собственных значений

Нелинейная задача собственных значений — это обобщение обычной задачи собственных значений до уравнений, зависящих от собственных значений нелинейно. В частности, эта задача относится к уравнениям вида

$A(\lambda )\mathbf {x} =0,\,$

где x — вектор (нелинейный «собственный вектор»), а A — функция, отображающая число $\lambda$ (ненулевое «собственное значение») в матрицу. (В наиболее общем случае $A(\lambda )$ может быть линейным отображением, но чаще всего это конечномерная, как правило квадратная, матрица). От A обычно требуется, чтобы функция была голоморфной от $\lambda$ (в некоторой области определения).

Например, обычная задача собственных значений $B\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$, где B — квадратная матрица, соответствует функции $A(\lambda )=B-\lambda E$, где E — единичная матрица.

Часто в качестве A появляется лямбда-матрица (матрица многочленов), и тогда задача называется полиномиальной задачей собственных значений. В частности, когда многочлены имеют степень два, задача называется квадратичной задачей собственных значений и может быть записана в виде

$A(\lambda )\mathbf {x} =(A_{2}\lambda ^{2}+A_{1}\lambda +A_{0})\mathbf {x} =0,\,$

в терминах постоянных квадратных матриц $A_{0,1,2}$. Такие задачи широко распространены в области динамического анализа механических конструкций. В этом случае обычно матрица жёсткости $A_{0}$ и матрица масс $A_{2}$ являются симметричными положительно (полу)определёнными матрицами. Ещё одним важным источником задач такого вида является моделирование вибраций вращающихся конструкций. Задача может быть сведена к обычной линейной обобщённой задаче собственных значений удвоенного размера путём определения нового вектора $\mathbf {y} =\lambda \mathbf {x}$. В терминах x и y квадратичная задача превращается в

${\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}\\0&E\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {x} \\\mathbf {y} \end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}0&-A_{2}\\E&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {x} \\\mathbf {y} \end{pmatrix}},$

где E — единичная матрица. В более общем случае, если A является матрицей многочленов порядка d, задачу можно свести к линейной (обобщённой) задаче собственных значений d-кратного размера.

Методы решения

Методы решения можно разделить на 3 группы

1. Методы линеаризации с полиномиальной или рациональной матрицей. В результате линеаризации получают задачу с пучком матриц большого порядка. Такие методы нацелены на поиск небольшого количества интересующих собственных значений и собственных векторов.
2. Методы уточнения. В данный класс попадает большинство существующих методов решения задачи (метод Кублановской, метод обратной итерации и его разновидности и др.). Суть методов состоит в последовательном поиске собственного значения из начального приближения. Сюда входят метод Мюллера и метод Ньютона (классический представитель класса методов первого порядка), методы Халлея и Лагерра (методы второго порядка).
3. Методы отделения корней. Сюда входят методы, основанные на поиске корней детерминантного уравнения. Методы данной группы используются для поиска приближений к собственным значениям.

Литература

• Françoise Tisseur, Karl Meerbergen. The quadratic eigenvalue problem // SIAM Review. — 2001. — Т. 43, № 2. — С. 235—286.
• Gene H. Golub, Henk A. van der Vorst. Eigenvalue computation in the 20th century // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2000. — Вып. 123. — С. 35—65.
• Philippe Guillaume. Nonlinear eigenproblems // SIAM J. Matrix. Anal. Appl.. — 1999. — Т. 20, № 3. — С. 575—595.
• Axel Ruhe. Algorithms for the nonlinear eigenvalue problem // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1973. — Т. 10, № 4. — С. 674—689.
• В. Н. Кублановская. К решению проблемы собственных значений для полиномиальных матриц общего вида // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2011. — Т. 395.
• Баскаков А.Е., Борисов Н.И. Обзор методов решения обобщённой проблемы собственных значений плотной матрицы, элементы которой нелинейно зависят от параметра // Новые информационные технологии в автоматизированных системах. — НИУ ВШЭ, 2010. — № 13. — С. 223-231. — ISSN 2227-0973.