Многочлен

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График многочлена 7 степени.

Многочлен (или полином) от n переменных — это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида

\sum_I c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}, где
  • I=(i_1,i_2,\dots,i_n) — набор из целых неотрицательных чисел, именуемый мультииндексом,
  • c_I — число, именуемое коэффициент многочлена, зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

c_0 + c_1x^1 + \dots + c_mx^m, где

С помощью многочлена выводятся понятия алгебраическое уравнение и алгебраическая функция.

Изучение и применение[править | править исходный текст]

График многочленов Бернулли.png

Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры». С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов. Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных объектов.

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Многочлен вида c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} называется одночленом или мономом мультииндекса I=(i_1,\dots,\,i_n).
  • Одночлен, соответствующий мультииндексу I=(0,\dots,\,0) называется свободным членом.
  • Полной степенью (ненулевого) одночлена c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} называется целое число |I|=i_1+i_2+\dots+i_n.
  • Множество мультииндексов I, для которых коэффициенты c_I ненулевые, называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка — многогранником Ньютона.
  • Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов. Степень тождественного нуля доопределяется значением -\infty.
  • Многочлен, являющийся суммой двух мономов, называется двучленом или биномом,
  • Многочлен, являющийся суммой трёх мономов, называется трёхчленом.
  • Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R без делителей нуля) которое обозначается R[x_1,x_2,\dots,x_n].

Полиномиальные функции[править | править исходный текст]

Пусть A есть алгебра над кольцом R. Произвольный многочлен p(x)\in R[x_1,x_2,\dots,x_n] определяет полиномиальную функцию

p_R:A\to A.

Чаще всего рассматривают случай A=R.

В случае, если R есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция f_p:R^n\to R полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены p_1(x)\equiv x и p_2(x)\equiv x^2 из \Z_2[x] определяют тождественно равные функции \Z_2\to\Z_2.

Виды многочленов[править | править исходный текст]

  • Многочлен одной переменной называется унитарным или приведённым[en], если его старший коэффициент равен единице.
  • Многочлен, все одночлены которого имеют одну и ту же полную степень называется однородным.
    • Например x^2+xy+y^2 — однородный многочлен двух переменных, а x^2+y+1 не является однородным.
  • Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

Свойства[править | править исходный текст]

Делимость[править | править исходный текст]

Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение pq делится на неприводимый многочлен \lambda, то p или q делится на \lambda. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x^4-2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n>2 существуют многочлены от n переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
  • Солодовников А. С, Родина М. А. Задачник-практикум по алгебре. — М.: Просвещение, 1985. — 127 с.
  • В. В. Прасолов Многочлены. — МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1
  • Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М., 1977.