Неравенство Птолемея

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Неравенство Птолемея: Для любых точек A,B,C,D плоскости выполнено неравенство

 |AC|\cdot |BD|\leq |AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|,

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда ABCD (выпуклый) вписанный четырехугольник или точки ABCD лежат на одной прямой.

Идеи доказательства[править | править вики-текст]

Следствия[править | править вики-текст]

  • Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

|A_1A_4|\cdot |A_2A_5|\cdot |A_3A_6|\le |A_1A_2|\cdot |A_3A_6|\cdot |A_4A_5|+|A_1A_2|\cdot |A_3A_4|\cdot |A_5A_6| +
 +|A_2A_3|\cdot |A_1A_4|\cdot |A_5A_6|+|A_2A_3|\cdot |A_4A_5|\cdot |A_1A_6|+|A_3A_4|\cdot |A_2A_5|\cdot |A_1A_6|,
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда A_1\dots A_6 — вписанный шестиугольник.
  • Теорема Кэзи (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности \alpha,\beta,\gamma и \delta, касающиеся данной окружности в вершинах A,B,C и D выпуклого четырехугольника ABCD. Пусть t_{\alpha\beta} — длина общей касательной к окружностям \alpha и \beta (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); t_{\beta\gamma},t_{\gamma\delta} и т. д. определяются аналогично. Тогда
t_{\alpha\beta}t_{\gamma\delta}+t_{\beta\gamma}t_{\delta\alpha}=t_{\alpha\gamma}t_{\beta\delta}.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Доказательство теоремы Птолемея с помощью инверсии. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  2. О теореме Д. Помпейю. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.

Литература[править | править вики-текст]