Обсуждение:Динамическая система

Legal info

Моя правка данной статьи основана на тексте, подготовленном мною для «бумажной» школьной энциклопедии по математике, планируемой к выпуску в одном из российских издательств. Авторский договор с издательством неэксклюзивный, так что я имею право опубликовать этот текст в Википедии. Во избежание возможных недоразумений прошу не удалять это уведомление со страницы обсуждения даже в целях архивирования. — Эта реплика добавлена участником Ilya Voyager (о • в)

Дополнение во вступлении

К сожалению, я был вынужден отменить правку [1], поскольку она во многом дублирует содержание следующей секции (Динамическая система#Основные понятия), где говорится и о детерменированности, и о переменных (фазовом пространстве). С другой стороны, то, что сейчас написано в "Основных понятиях", тоже не совсем правда (рассматриваются также недетерминированные, стохастические динамические системы), а также бесконечномерные динамические системы, и об этом тоже когда-то будет написано, поэтому выносить факты, заведомо сужающие предметную область статьи, в самое введение, мне кажется неправильным. Впрочем, возможно, я в чем-то не прав -- буду готов обсудить возможные дальнейшие правки. Ilya Voyager 16:49, 13 июня 2008 (UTC)

История+направления развития?

Очень хочется добавить сюда раздел либо про историю, либо с минимальным обзором направлений ДС:

• Одномерные обратимые ДС (окружность): классификация Пуанкаре, пример Данжуа, теорема Данжуа, языки Арнольда
• Одномерные необратимые ДС: tent map, удвоение окружности.
• Комплексно-одномерная динамика: множества Фату и Жюлиа, множество Мандельброта.
• Векторные поля на плоскости: теорема Пуанкаре-Бендиксона, 16-я проблема Гильберта. (Может быть, и на поверхностях -- ячейка Черри, как гладкий аналог примера Данжуа?)
• Отображения в размерности два и больше -- возможность хаотического поведения: преобразование пекаря, подкова Смейла, диффеоморфизм Аносова, соленоид Смейла-Вильямса. Гиперболическая динамика и структурная устойчивость.
• Эргодическая теория: теорема Крылова-Боголюбова, эргодические теоремы Неймана и Биркгофа-Хинчина.

Но у меня к этому наброску пока не получилось написать слова (а без этого, например, статьи одномерной динамики "висят в воздухе" -- РобоСтася ругается :) ). Кто-нибудь? --Burivykh 23:53, 20 апреля 2009 (UTC)

План статьи

На мой взгляд, нужен довольно подробный план статьи. И не одной, поскольку необходимо грамотно распределить материал. Следует помнить о предельно допустимом размере статьи. Главный вопрос: о чём должна быть написана статья? Понятийный аппарат можно раскрыть в другом месте. А здесь дать общее введение, не так ли? И что означает добавка в конце названия: «... (раздел)»? --OZH 10:17, 17 сентября 2009 (UTC)

Итак, хотелось бы знать:

• для чего пишется статья (для первоначального введения в предмет и, главное, в какой);
• для кого пишется статья (для общего развития, для новичков, желающих изучить предмет, или для специалистов, желающих узнать современное состояние сеории динамических систем);
• как быть с множеством сопутствующих статей (вроде механической системы, которая, на самом деле, является перенаправлением на статью Механика, что кажется более чем странным).

В принципе, необходимо и то, и другое и третье. Но как это реализовать? Попробуем набросать некоторый план, но это только набросок, который являет собой схему, а не точное руководство к действию: утверждения требуют проверки, слова требуется причесать к единому стилю, сказанное кратко должно быть раскрыто и расшифровано. ;-) --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)

Преамбула (сжатое изложение вопросов, описываемых в статье)

Динамическая система — математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюционирующих с течением времени. Динамическая система представляет собой математическую модель некоторого объекта, процесса или явления. Динамическая система может быть представлена в виде «чёрного ящика» с «входами» и «выходами»: «входы» представляют собой внешние (например, управляющие) воздействия на систему, а «выходы» — ответную реакцию системы (её поведение). При таком подходе, основная задача — это поиск управляющих воздействий, обеспечивающих требуемое поведение системы. Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая состоянием. При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику — процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы — совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояние в другое. Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем. В системах с дискретным временем, которые традиционно называются каскадами, поведение системы (или, что тоже самое, траектория системы в фазовом пространстве) описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называются потоками, состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси. Каскады и потоки являются основным предметом рассмотрения в символической и топологической динамике соответственно (не уверен!). Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) является по существу синонимом автономной системы дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые — его периодическим решениям. Основное содержание теории динамических систем — это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репелеры) множеств (многообразий). Важнейшие понятие теории динамических систем — это устойчивость (способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы)... Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории динамических систем приводит к понятию динамической системы с инвариантной мерой... Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф. --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)

Основные понятия

[Здесь необходимо дать сводку основных понятий (на словах, без формул) с перенаправлениями на другие статьи с более подробным описанием каждого понятия и с формальным определением.] --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)

Примеры

[Здесь необходимо на примере одномерных и двумерных динамических систем показать что такое положение равновесия, цикл, предельное поведение, устойчивость и т.п. --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)

История вопроса

[Здесь должно быть краткое изложение истории изучения динамических систем от истоков до наших дней.] --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)

Ссылки

[Здесь должны быть ссылки на различные научные школы и сайты, посвященные изучению динамических систем.] --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)

Источники

[Здесь должны быть указаны основные учебники и руководства по теории динамических систем. Думаю, что будет достаточно 10 самых важных.] --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)

Замечания к тексту статьи

От 17-09-2009

Раздел «Основные понятия» выглядит буреломом слов. Начало и вовсе вызывающее: свойство „приписывается“! Есть реальные объекты, описываемые в виде вербальных моделей как системы с учётом взаимосвязей элементов, а есть математические модели, которым изначально присущи те или иные свойства. Детерминированные модели — лишь частный случай таких моделей. Потом идёт разговор о фазовом пространстве, приводится пример, а последняя фраза добивает окончательно: «Важно отметить, что каждая точка фазового пространства задает состояние всей системы»! --OZH 10:53, 17 сентября 2009 (UTC)

Из описанного, я понял пока только одну претензию — что не все динамические системы детерминистичны, с чем я согласен. Это надо исправить. Насчет остального, честно говоря, не понял — попробуйте предложить свои правки (можно править смело), чтобы исправить недочеты, какими Вы их видите. Ilya Voyager 18:54, 17 сентября 2009 (UTC)

Раздел «Способы задания динамических систем», вроде бы, по делу, однако тут возникает математический язык: начали без него, а закончили им? К тому же, точки фазового пространства, по-моему, никуда не двигаются. Есть понятие «изображающей точки». Разделение систем на системы с непрерывным и с дискретным временем важно, однако такое разделение следовало бы вынести в отдельную статью, где подробнее описать различия и указать взаимосвязи. Во-первых, мы всегда можем задать оператор сдвига на определённое время и рассмотреть соответствующий каскад. Тогда нужно указать непосредственную связь с теоремой о неподвижной точке и, более широко, с соответствующим разделом функционального анализа. Во-вторых, рассматривая итерации отображения и предельные множества, аттракторы, можно "аппроксимировать" и непрерывную динамику... --OZH 10:53, 17 сентября 2009 (UTC)

Математический язык рано или поздно в любом случае появится. Сделать можно многое. Правьте смело. :) Ilya Voyager 18:54, 17 сентября 2009 (UTC)

В таком виде раздел «Вопросы теории динамических систем» выглядит возникающим из ниоткуда. Одним словом: для улучшения статьи её надо полностью переписать, сконцентрируясь на геометрических образах и на основных задачах, причём так, чтобы задачи и проблемы естественным образом вытекали из общего геометрического рассмотрения. А математику можно изложить в отдельных специализированных статьях. В общем виде, вводная статья должна быть совсем без математики и быть путеводителем по специализированным статьям. --OZH 10:53, 17 сентября 2009 (UTC)

Нет, совсем без математики, мне представляется, мы не обойдемся. Но можете попробовать. Ilya Voyager 18:54, 17 сентября 2009 (UTC)

Планируемое дополнение

Перенесено со страницы Википедия:Проект:Математика/Динамические системы (введение).

Автор: User:OZH

Определение

Динамической системой, заданной в топологическом пространстве $X$, называется отображение $g\colon R\times X\to X$ вида $g(t,x)=g^{t}x$ ($t\in R$ и $x\in X$), которое является дифференцируемым отображением, причём $\{g^{t}\}$ образует группу преобразований топологического пространства $X$. Последнее означает, что $g^{0}$ — тождественное отображение пространства $X$ и для любых $s$, $t\in R$ выполняется тождество $g^{t}\circ g^{s}=g^{t+s}$.

Из дифференцируемости отображения $g$ следует, что график функции $g(t,x_{0})$ (при $t\in R$) является дифференцируемой функцией времени и называется интегральной траекторией (кривой) динамической системы. Её проекция на пространство $X$, которое в таком случае носит название фазового пространства, называется фазовой траекторией (кривой) динамической системы.

Задание динамической системы, таким образом, эквивалентно разбиению фазового пространства на траектории.

Перенесено со страницы Обсуждение Википедии:Проект:Математика/Динамические системы (введение).

Мне кажется, подобного рода добавления можно сразу делать в статью Динамические системы. Правда, я не согласен с тем, чтобы предложенное здесь определение было вынесено в преамбулу как основное. Я все-таки считаю, что преамбула должна быть а) максимально общей (чтобы охватывать все случаи); б) максимально понятной для неспециалиста (то есть никаких формул). Но создать дополнительный раздел, в котором всё это написать с таким уровнем формализма, думаю, вполне можно и даже нужно. В текущий момент статья дублирует мою же статью в энциклопедии Росмэн по информатике и математике для школьников, и написана в общем на соответствующем уровне — так что надо, конечно, серьезно дорабатывать. Ilya Voyager 21:31, 14 января 2009 (UTC)

Уточнить, какую алгебраическую структуру образуют преобразования системы

выполняется тождество $g^{t}\circ g^{s}=g^{t+s}$

Насколько я понимаю, такое возможно лишь для стационарных систем, нестационарные образуют что-то вроде полугруппы Брандта. mclaudt 22:25, 3 марта 2012 (UTC)

Не понял, при чём здесь полугруппа Брандта, больше похоже на группоид в категорном смысле, но это не обязательно вносить в статью. Скорее, лучше написать, что иногда под динамическими системами понимаются в том числе нестационарные (дать другое определение), но они легко сводятся к стационарным. Mburyakov (обс.) 17:46, 23 января 2017 (UTC)