Группоид (теория категорий)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий группо́ид — это категория, в которой все морфизмы являются изоморфизмами. Группоиды можно рассматривать как обобщение групп. А именно, категория, соответствующая группе G, имеет ровно один объект и по одной стрелке для каждого элемента g из G. Композиция стрелок задаётся как умножение соответствующих элементов в группе. Видно, что при этом каждая стрелка является изоморфизмом. Таким образом множество стрелок группоида можно рассматривать как некоторое множество с частично определённой бинарной операцией умножения, так что для каждого элемента существуют левый и правый обратный, а также левая и правая единица по умножению.

Группоиды естественно заменяют в теории категорий группы симметрий и возникают при классификации классов изоморфных объектов.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Любая категория, являющаяся группой, является группоидом.
  • Пусть C — произвольная категория, а D \hookrightarrow C — подкатегория, объекты которой совпадают с объектами C, а морфизмами являются всевозможные изоморфизмы в C. Тогда D — группоид.
f\colon [0;1] \to X, ~ f(0) = x,\; f(1)=y
Две функции f и g задают один и тот же путь если существует s: [0;1] \to [0;1], так что f = g \circ s или g = f \circ s. Композиция стрелок задаётся композицией путей:
fg(t) = \begin{cases} f(2t),\; 0\leqslant t \leqslant 1/2 \\ g(2t-1),\; 1/2 \leqslant t \leqslant 1 \end{cases}
2-морфизм из f в g — это гомотопия из f в g. Фундаментальный группоид является категорификацией фундаментальной группы. Его преимущество в том, что в пространстве не требуется выбор отмеченной точки, так что не возникает проблем с неканоничностью изоморфизма фундаментальных групп в разных точках или с пространствами, имеющими несколько компонент связности. Фундаментальная группа петель из точки x \in X возникает как группа 2-изоморфных автоморфизмов объекта x\in \Pi_1(X).
  • Категория векторных расслоений ранга n над стягиваемым пространством с невырожденными отображениями естественно образует группоид. Это замечание лежит в основе введения понятия джерба (англ.) (который является частным случаем стека (англ.)), представляющего собой структуру на категории пучков заданного типа. Джербы являются геометрическими объектами, классифицируемыми группами когомологий H^2(X,\mathcal{G}), где \mathcal{G} — пучок групп на X. Понятие особенно важно в случае неабелевых групп \mathcal{G}.

См. также[править | править вики-текст]