Языки Арнольда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Языки Арнольда — в теории динамических систем, области рациональности числа вращения в двупараметрическом семействе гомеоморфизмов окружности, начинающемся (при нулевом значении одного из параметров) с чистых поворотов.

Постановка задачи[править | править вики-текст]

Рассмотрим семейство гомеоморфизмов окружности


f_{\alpha, \varepsilon}(x)=x+\alpha + \varepsilon\sin (2\pi x) , \quad x,\alpha \in S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}, \, \varepsilon\in[0,1/10] .

Для этого семейства, можно рассмотреть функцию \rho(\alpha,\varepsilon), сопоставляющую параметрам (\alpha,\varepsilon) число вращения соответствующего гомеоморфизма. Множества точек, в которых она принимает рациональные значения,


E_{p/q}:=\{(\alpha,\varepsilon) \mid \rho(\alpha,\varepsilon)=p/q \},

и называются языками Арнольда.

Описание поведения[править | править вики-текст]

Языки Арнольда для некоторых значений числа вращения

При \varepsilon=0 отображение f_{\alpha} является поворотом на угол \alpha. Соответственно, \rho(\alpha,0)=\alpha, и рациональное значение p/q принимается только в соответствующей точке \alpha=p/q

Напротив, при сколь угодно малом \varepsilon_0>0 для каждого p/q пересечение E_{p/q} с горизонтальным отрезком \varepsilon=\varepsilon_0 оказывается отрезком. Это связано с тем, что, как утверждает теорема Пуанкаре, число вращения рационально со знаменателем q тогда и только тогда, когда у отображения f^q имеется неподвижная точка. Соответственно, поскольку семейство f_{\alpha,\varepsilon} при любом фиксированном \varepsilon монотонно по \alpha, при увеличении \alpha наблюдается последовательность бифуркаций:

  • Сначала (на левом краю E_{p,q}\cap \{\varepsilon=\varepsilon_0\}) у f_{\alpha,\varepsilon_0} появляется полуустойчивая периодическая орбита периода q точка (или одновременно появляются несколько таких орбит); все точки, не принадлежащие к таким орбитам, стремятся к ним, дрейфуя «по часовой стрелке» (в направлении убывания x).
  • Эти орбиты немедленно распадаются на устойчивые и неустойчивые; устойчивые с ростом параметра \alpha дрейфуют против, а неустойчивые по часовой стрелке.
  • В течение определённого отрезка параметров \alpha периодические точки дрейфуют, возможно, происходит рождение новых или уничтожение старых орбит.
  • Наконец, в некоторый момент оказывается, что все имевшиеся орбиты слились в одну или несколько полуустойчивых орбит, дрейф в дополнении к которым идёт против часовой стрелки — в положительном направлении. Это и есть правая граница E_{p,q}\cap \{\varepsilon=\varepsilon_0\} — при сколь угодно малом дальнейшем увеличении \alpha периодические точки периода q исчезают (а число вращения, тем самым, строго увеличивается).

Единственное возможное поведение аналитического диффеоморфизма, при котором вышеописанный сценарий не имеет места — это диффеоморфизм конечного порядка: если для некоторого \alpha отображение f_{\alpha,\varepsilon_0}^q тождественно, то соответствующее E_{p,q}\cap \{\varepsilon=\varepsilon_0\} состоит из одной точки (\alpha,\varepsilon_0). Однако, соображения комплексного анализа легко показывают, что для рассматриваемого выше семейства это не происходит.

Подытоживая всё вышесказанное, видим, что множество E_{p/q} это своеобразный «язык», «растущий» из точки (p/q,0), и ограниченный двумя непрерывными кривыми.

Также, используя теорему Данжуа и соображения монотонности, несложно увидеть, что для любого иррационального \varphi множество E_{\varphi}=\{\rho(\alpha,\varepsilon)=\varphi\} это непрерывная кривая, начинающаяся из точки (\varphi,0).

Стоит отметить, что (как следует из всего вышесказанного) при любом фиксированном \varepsilon>0 число вращения, как функция параметра \alpha, является канторовой лестницей. Однако, в отличие от обычной конструкции канторовой лестницы, канторово множество её точек роста (замыкание множества параметров \alpha, соответствующих иррациональным числам вращения) оказывается имеющим положительную меру Лебега.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9