Языки Арнольда

Языки Арнольда — в теории динамических систем, области рациональности числа вращения в двупараметрическом семействе гомеоморфизмов окружности, начинающемся (при нулевом значении одного из параметров) с чистых поворотов.

Постановка задачи

Рассмотрим семейство гомеоморфизмов окружности

$f_{\alpha, \varepsilon}(x)=x+\alpha + \varepsilon\sin (2\pi x) , \quad x,\alpha \in S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}, \, \varepsilon\in[0,1/10] .$

Для этого семейства, можно рассмотреть функцию $\rho(\alpha,\varepsilon)$, сопоставляющую параметрам $(\alpha,\varepsilon)$ число вращения соответствующего гомеоморфизма. Множества точек, в которых она принимает рациональные значения,

$E_{p/q}:=\{(\alpha,\varepsilon) \mid \rho(\alpha,\varepsilon)=p/q \},$

и называются языками Арнольда.

Описание поведения

Языки Арнольда для некоторых значений числа вращения

При $\varepsilon=0$ отображение $f_{\alpha}$ является поворотом на угол $\alpha$. Соответственно, $\rho(\alpha,0)=\alpha$, и рациональное значение $p/q$ принимается только в соответствующей точке $\alpha=p/q$

Напротив, при сколь угодно малом $\varepsilon_0>0$ для каждого $p/q$ пересечение $E_{p/q}$ с горизонтальным отрезком $\varepsilon=\varepsilon_0$ оказывается отрезком. Это связано с тем, что, как утверждает теорема Пуанкаре, число вращения рационально со знаменателем q тогда и только тогда, когда у отображения $f^q$ имеется неподвижная точка. Соответственно, поскольку семейство $f_{\alpha,\varepsilon}$ при любом фиксированном $\varepsilon$ монотонно по $\alpha$, при увеличении $\alpha$ наблюдается последовательность бифуркаций:

• Сначала (на левом краю $E_{p,q}\cap \{\varepsilon=\varepsilon_0\}$) у $f_{\alpha,\varepsilon_0}$ появляется полуустойчивая периодическая орбита периода $q$ точка (или одновременно появляются несколько таких орбит); все точки, не принадлежащие к таким орбитам, стремятся к ним, дрейфуя «по часовой стрелке» (в направлении убывания $x$).
• Эти орбиты немедленно распадаются на устойчивые и неустойчивые; устойчивые с ростом параметра $\alpha$ дрейфуют против, а неустойчивые по часовой стрелке.
• В течение определённого отрезка параметров $\alpha$ периодические точки дрейфуют, возможно, происходит рождение новых или уничтожение старых орбит.
• Наконец, в некоторый момент оказывается, что все имевшиеся орбиты слились в одну или несколько полуустойчивых орбит, дрейф в дополнении к которым идёт против часовой стрелки — в положительном направлении. Это и есть правая граница $E_{p,q}\cap \{\varepsilon=\varepsilon_0\}$ — при сколь угодно малом дальнейшем увеличении $\alpha$ периодические точки периода $q$ исчезают (а число вращения, тем самым, строго увеличивается).

Единственное возможное поведение аналитического диффеоморфизма, при котором вышеописанный сценарий не имеет места — это диффеоморфизм конечного порядка: если для некоторого $\alpha$ отображение $f_{\alpha,\varepsilon_0}^q$ тождественно, то соответствующее $E_{p,q}\cap \{\varepsilon=\varepsilon_0\}$ состоит из одной точки $(\alpha,\varepsilon_0)$. Однако, соображения комплексного анализа легко показывают, что для рассматриваемого выше семейства это не происходит.

Подытоживая всё вышесказанное, видим, что множество $E_{p/q}$ это своеобразный «язык», «растущий» из точки $(p/q,0)$, и ограниченный двумя непрерывными кривыми.

Также, используя теорему Данжуа и соображения монотонности, несложно увидеть, что для любого иррационального $\varphi$ множество $E_{\varphi}=\{\rho(\alpha,\varepsilon)=\varphi\}$ это непрерывная кривая, начинающаяся из точки $(\varphi,0)$.

Стоит отметить, что (как следует из всего вышесказанного) при любом фиксированном $\varepsilon>0$ число вращения, как функция параметра $\alpha$, является канторовой лестницей. Однако, в отличие от обычной конструкции канторовой лестницы, канторово множество её точек роста (замыкание множества параметров $\alpha$, соответствующих иррациональным числам вращения) оказывается имеющим положительную меру Лебега.

Ссылки

• А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9