Обсуждение:Комплексная плоскость

∞ + ∞ ≠ ∞ ?

Из раздела Комплексная плоскость#Бесконечно удалённая точка:

• $z+\infty =\infty \ (z\neq \infty )$

Это почему же    $\infty +\infty \neq \infty$   ? >>Kron7 10:00, 11 апреля 2014 (UTC)

Соотношение $\infty +\infty =\infty$ не включено в текст по двум соображениям. Первое: в источнике (Свешников, Тихонов) оно отсутствует. Второе: оно противоречит определению сходимости к бесконечно удалённой точке, так как сумма двух неограниченно возрастающих по модулю последовательностей может не быть неограниченно возрастающей; пример: сумма $u_{n}=nz$ и $v_{n}=-nz$. LGB 10:59, 11 апреля 2014 (UTC)

В матанализе есть $+\infty$ и $-\infty$. Таким образом:

$+\infty \ +(+\infty )=+\infty$

$-\infty \ +(-\infty )=-\infty$

$+\infty \ +(-\infty )=(\infty \ -\infty )$ - неопределенность.

В комплексном анализе (КА) на расширенной комплексной плоскости (РКП) есть $\infty$ (без знака). И пример, который вы привели, как раз соответствует 3-му соотношению для матанализа, которое приводит к неопределенности. Т.е. поскольку в КА бесконечность $\infty$ только одна, то она в зависимости от ситуации может быть аналогом как $+\infty$, так и $-\infty$ в матанализе. Таким образом, при суммировании на РКП бесконечностей, помимо прочих (вполне определенных) ситуаций, возможна и такая, что приведет к аналогу матановской неопределенности $(\infty \ -\infty )$. Именно поэтому суммирование бесконечностей на РКП не вводится и в общем случае считается неопределенным, если я правильно понял. >> Kron7 11:58, 11 апреля 2014 (UTC)

В целом согласен с вашими рассуждениями. Бесконечность в вещественном матанализе, в комплексном анализе, в теории множеств, в нестандартном анализе и т. д. — это существенно разные математические объекты, с разными свойствами, даже если они используют одно и то же обозначение. LGB 12:08, 11 апреля 2014 (UTC)

Новый раздел «Расширенная комплексная плоскость»

Предлагаю создать раздел «Расширенная комплексная плоскость» и переместить в него в качестве подраздела уже существующий раздел «Бесконечно удалённая точка».

Сейчас в вики стоит перенаправление из запроса "Расширенная комплексная плоскость" на статью «Сфера Римана». Но сфера Римана не является расширенной комплексной плоскостью, это несколько другой математический объект и, я считаю эту переадресацию не совсем уместной.

Нужно в статье «Комплексная плоскость» создать раздел «Расширенная комплексная плоскость», описать ее там и поменять перенаправление на новый раздел. >>Kron7 10:19, 11 апреля 2014 (UTC)

LGB, что скажите по этому поводу? >> Kron7 08:52, 14 апреля 2014 (UTC)

Я, конечно, отношусь к этой идее положительно, но не совсем ясно, что в этот раздел добавлять помимо уже имеющегося материала. Разве что критерий: последовательность $z_{n}$ сходится к $\infty$ тогда и только тогда, когда $1/z_{n}$ сходится к нулю. Всё остальное, что приходит в голову, не имеет общего характера и касается конкретных аналитических приложений, так что для темы «Комплексная плоскость» это оффтопик. Или вы имели в виду просто переименование раздела? Тогда, по-моему, для ясности лучше объединить: «Бесконечно удалённая точка и расширенная комплексная плоскость». LGB 11:00, 14 апреля 2014 (UTC)

Причины, почему я считаю нужным выделить расширенную комплексную плоскость (РКП) в отдельный раздел:

• Такая математическая структура, как РКП, является важным объектом в математике, заслуживающим если не отдельной статьи в вики (кстати идея...), то хотя бы отдельного раздела в статье Комплексная плоскость (КП).
• Мне не очень нравится, что на данный момент на запрос "Расширенная комплексная плоскость" стоит перенаправление на статью Сфера Римана, поскольку это не одно и то же.

Бесконечно удаленная точка также является важным математическим объектом, заслуживающим раздела в статье. Поэтому, действительно, лучше назвать раздел «Расширенная комплексная плоскость и бесконечно удалённая точка».

Ну, вот, к примеру, есть статья Вещественное число, где описывается множество вещественных чисел. Также есть статья для обобщения этого множества - Расширенная числовая прямая (даже не раздел в уже существующей статье, а отдельная статья). В ней описано что это за объект, причины его ввода, свойства и т.д.

Вот я и предлагаю сделать по аналогии для КП и РКП, и поменять перенаправление с запроса "Расширенная комплексная плоскость" на раздел «Комплексная плоскость#Расширенная комплексная плоскость и бесконечно удалённая точка».

А в последствии возможно и отдельную статью создадим Расширенная комплексная плоскость. Более того, для множества вещественных чисел помимо основной статьи Вещественное число есть также и другие: Числовая ось, Числовой луч и Расширенная числовая прямая. >> Kron7 09:30, 15 апреля 2014 (UTC)

• Пока переименовал раздел «Комплексная плоскость#Бесконечно удалённая точка» в «Комплексная плоскость#Расширенная комплексная плоскость и бесконечно удалённая точка» и установил перенаправление на этот раздел со статей «Расширенная комплексная плоскость» и «Бесконечно удалённая точка»
• Теперь его нужно дополнить по аналогии с Расширенной числовой прямой. >> Kron7 09:51, 15 апреля 2014 (UTC)

↓ Продолжение обсуждения вынесено в следующий раздел ↓

z/0 = ∞

${\frac {z}{0}}=\infty \ (z\neq 0)$

В источнике (Свешников, Тихонов) этого соотношения нет. >> Kron7 08:51, 14 апреля 2014 (UTC)

Согласен, там приведена эта формула только для $z=1.$ Не знаю, почему, в каком-то другом источнике я видел эту формулу для любого ненулевого $z.$ В английском разделе она тоже есть. Во всяком случае, формула следует из приведенного мной выше критерия: ${\frac {z}{0}}=\infty \ (z\neq 0),$ потому что обратная последовательность ${\frac {0}{z}}=0\ (z\neq 0).$ LGB 11:00, 14 апреля 2014 (UTC)

Бесконечно удалённая точка

↑ Начало нижеследующего обсуждения находится в предыдущем разделе ↑

У меня только одно замечание: Бесконечно удалённая точка — очень многозначное понятие, вы же сами упомянули статью Расширенная числовая прямая, где она также присутствует для вещественных чисел, есть она в проективной плоскости, в плоскости Лобачевского и ещё шайтан знает где. Поэтому я был неправ, когда в 2010 году сделал перенаправление этого понятия только на Комплексную плоскость, лучше создать для данного термина либо дизамбиг, либо краткую статью с пояснениями всех основных толкований. Связь со сферой Римана тоже надо упомянуть, именно она исторически породила данное понятие. LGB 11:02, 15 апреля 2014 (UTC)

Создал страницу разрешения неоднозначности: Бесконечно удаленная точка (значения). И поменял перенаправление. Можете ее дополнить. >> Kron7 09:37, 23 апреля 2014 (UTC)

Я заменил определение понятия, поскольку непонятно, при чём тут координаты, бесконечно удаленная точка есть инвариантное геометрическое понятие. Новое определение взято, с минимальными изменениями, из Мат. энциклопедии. Кроме того, может, ссылку на вещественную проективную прямую лучше заменить на en:Point at infinity? Кстати, в этой статье описаны и другие толкования и обобщения. Может, и нам вместо дизамбига сделать обзор и связать эти статьи? LGB 11:40, 23 апреля 2014 (UTC)

• На счет определения:

Бесконечно удаленная точка — математический объект, в разных математических теориях представляющий геометрическую актуальную бесконечность

Я тоже сначала думал написать "геометрическая", но потом решил, что под этим люди будут подразумевать нечто иное. Геометрия изучает фигуры. И в качестве примеров для некой "геометрической бесконечности", как собирательного понятия, напрашиваются:

- бесконечные геометрические фигуры: луч (бесконечный в одном направлении), прямая (бесконечная в двух противоположных направлениях)... или

- те фигуры, определения которым можно дать используя понятие бесконечности: окружность - правильный многоугольник, содержащий бесконечность сторон (n-угольник, где n=∞ или ∞-угольник); прямая - окружность с бесконечным радиусом...

А у нас речь идет о бесконечно удаленной точке. Т.е. о точке в системы координат - нужно ведь от чего-то эту бесконечность отсчитывать. Таким образом, понятие бесконечно удаленной точки привязано не столько к геометрии (фигуры и все такое), как к системе координат (для отсчета). Поэтому я и указал "координатная интерпретация бесконечности". Ваше определение мне нравиться больше, но на счет "геометрии" не знаю.

Также не уверен на счет необходимости указания того, что бесконечность актуальная. Ведь в математике обычно не говорят о потенциальной и актуальной бесконечности, там просто "бесконечность". К тому же ссылку вы указали на статью «Бесконечность», а не на ее раздел «Потенциальная и актуальная бесконечность».

• На счет проективной прямой:

• В статье в квадратных скобках указана ссылка на соответствующую статью в англовики. А прямая ссылка стоит на раздел, в котором хоть в небольшом объеме но все же, описывается проективная прямая, даже с иллюстрацией. Также было бы неплохо написать статью «Числовая проективная прямая».
• А почему вы хотите заменить en:Real projective line на en:Point at infinity?

• На счет полноценной статьи:

Я за. >> Kron7 14:52, 23 апреля 2014 (UTC)

В принципе можно попытаться ввести бесконечно удаленную точку в любом нормированном пространстве, не обязательно многообразии с координатами. Главная цель — компактификация пространства, то есть введение предела для всех последовательностей, даже бесконечно растущих по норме. Опорной точкой не обязательно делать систему координат, которая может и не существовать. LGB 11:08, 24 апреля 2014 (UTC)

• Смотрим, в источник: [1]. Бесконечность и бесконечно удаленная точка - не одно и то же. Бесконечность - это алгебраический объект, количественная характеристика, исчислимость. А бесконечно удаленная точка - это геометрический объект, точка, отнесенная от некой фиксированной точки на бесконечность (ту, о которой мы говорили в предыдущем предложении). Причем эта точка располагается на расширенной комплексной плоскости (если речь идет о комплексном анализе). Т.е. на двумерном пространстве - на многообразии. И само-собой тут идет уже привязка к системе координат.

Ввести бесконечность (алгебраический объект) в нормированном пространстве возможно и можно, но не бесконечно удаленную точку (геометрический объект), поскольку она без такого свойства пространства как расстояние, теряет свой смысл. >> Kron7 14:20, 24 апреля 2014 (UTC)

• В источнике определено только понятие бесконечно удаленной точки, которую для краткости речи иногда именуют бесконечностью. Привязка к системе координат совершенно не обязательна. Например, для плоскости Лобачевского бесконечно удаленную точку можно ввести как центр некоторого орицикла, и это определение не опирается на какую-либо систему координат. Расстояние в любом нормированном пространстве вводится стандартным образом — как норма разности, см. статью. LGB 12:14, 25 апреля 2014 (UTC)

• Теперь конкретно о формулировке определения. Из статьи:

Бесконечно удалённая точка — математический объект, в разных математических теориях представляющий геометрическую актуальную бесконечность.

Как-то плохо звучит выражение "геометрическая актуальная бесконечность" (также как и просто "геометрическая бесконечность"). Такая комбинация слов, скажем, никак не определена. По запросу "геометрическая бесконечность" гугл, кроме всяких псевдо- и около-научных учений, ничего не находит. Лучше сказать "геометрическая интерпретация бесконечности". Если с этим вы согласны, тогда пойдем дальше и остановимся на многозначности этого выражения.

Когда читатель увидит фразу "геометрическая интерпретация бесконечности", он не подумает о точке, отнесенной на бесконечность от какой-то фиксированной точки. Он увиди тут луч или прямую. Поэтому понятие "геометрии" в определении будет уводить воображение читателя не в ту сторону. Все же с "координатами" лучше получалось. Может указать как-то так: "геометрическая координатная интерпретация бесконечности". Т.е. само определение будет выглядеть так (ссылки на нужные термины указаны):

Бесконечно удалённая точка — математический объект, в разных математических теориях представляющий геометрическую координатную интерпретацию бесконечности.

>> Kron7 14:20, 24 апреля 2014 (UTC)

Я не вижу, чем «геометрическая интерпретация бесконечности» лучше, чем «геометрическая актуальная бесконечность». Термин «интерпретация» слишком многозначен, смысл его меняется от простого «истолкование» до «формально-логической модели некоторой системы аксиом». Вряд ли читатель скажет нам спасибо за такую замену. Термин «актуальная бесконечность» упоминается в источнике, и он подчёркивает тот факт, что бесконечно удалённая точка является не просто условным символом, вроде «минус нуля» в теории пределов, но имеет некоторые (ограниченные) черты математического объекта. Упоминания о координатах в статьях о геометрических объектах вообще следует по возможности избегать, потому что опора на координаты сразу вменяет автору статьи в обязанность доказать независимость описываемых свойств от системы координат. LGB 12:14, 25 апреля 2014 (UTC)

Определение из Мат. энциклопедии, конечно, скорее интуитивное, чем строгое, поэтому пояснение насчёт актуальной бесконечности (взятое оттуда же) вполне уместно. LGB 11:08, 24 апреля 2014 (UTC)

На сколько я знаю, в математике под бесконечностью не зависимо от того, в какой теории это понятие вводится, всегда подразумевается актуальная бесконечность, как нечто целостное и неограниченное. Поэтому не вижу смысла менять традицию и употреблять термин "актуальная бесконечность" в определении бесконечно удаленной точки. >> Kron7 14:20, 24 апреля 2014 (UTC)

В математике используются оба типа бесконечности. Например, выражение «сумма ряда равна бесконечности» означает, что частичные суммы неограниченно растут с ростом числа слагаемых. Это потенциальная бесконечность, поскольку в обычном анализе бесконечность не включается в опорное множество чисел. LGB 12:14, 25 апреля 2014 (UTC)

Можно было бы добавить, что расстояние от любого ограниченного множества до бесконечно удаленной точки бесконечно, чтобы исключить примеры с бесконечными фигурами, но разводить ОРИСС не хотелось, да и незачем. Замену ссылки на en:Point at infinity я предложил, потому что тема обзорной английской статьи в точности совпадает с обсуждаемой, а тема en:Real projective line всё же ограничена. LGB 11:08, 24 апреля 2014 (UTC)

Возможно мы о разных вещах говорим. Вы предложили для числовой проективной прямой поставить ссылку на статью en:Point at infinity. Я считаю правильным по возможности ссылаться на статьи или разделы статьей на рувики. Так я и сделал. При этом для тех, кто будет копать глубже указал в квадратных скобках ссылку на соответствующую, и более полную чем тот русский раздел, статью о числовой проективной прямой - en:Real projective line. Вроде все понятно и логично.

Но теперь вы говорите:

Замену ссылки на en:Point at infinity я предложил, потому что тема обзорной английской статьи в точности совпадает с обсуждаемой, а тема en:Real projective line всё же ограничена.

Так, а при чем здесь обзорная статья? Речь ведь шла о числовой проективной прямой. >> Kron7 14:20, 24 апреля 2014 (UTC)

Я уже запутался в ваших перестройках, но речь шла о возможности расширить статью до общего обзора. LGB 12:14, 25 апреля 2014 (UTC)

Почему алгебраические операции с бесконечностью не производятся?

Алгебраические операции с бесконечностью не производятся

Разве в источнике (Свешников, Тихонов) такое сказано? >> Kron7 08:46, 14 апреля 2014 (UTC)

В источнике после слов «Определим алгебраические свойства числа $z=\infty$» приведен исчерпывающий список алгебраических операций с бесконечностью, никаких других не существует, да и эти по существу представляют собой символическую запись предельных соотношений. Я считаю важным чётко обратить внимание читателя на этот факт, чтобы пресечь часто встречающиеся бессмысленные заявления неспециалистов вроде: «делить на ноль можно, получается бесконечность». Читатель должен получить ясное представление, в каких структурах бесконечность есть просто символ, в каких — псевдочисло, в каких — полноценное число. LGB 11:00, 14 апреля 2014 (UTC)

Согласен. Вопрос был к тому, что за фразой "Алгебраические операции с бесконечностью не производятся" следует список из 4-х алгебраических операций с бесконечностью. На словах имеем противоречие. Лучше сказать, что список алгебраических операций с бесконечностью является исчервывающим и далеее указать эти 4 операции. >> Kron7 08:56, 15 апреля 2014 (UTC)

Так ведь это по существу не алгебраические операции, а символическая запись предельных соотношений. Хотя бы потому, что эти тождества не поддаются никаким дальнейшим алгебраическим преобразованиям, их форма монолитна и неизменна. Поэтому я и выбрал такую формулировку и термин «соотношения» вместо «операции». По смыслу примерно то же, но не провоцирует читателя на рискованные игры с бесконечностью. LGB 11:02, 15 апреля 2014 (UTC)

↓ Лирическое отступление ↓

В КА бесконечность — это величина, к которой сходится неограниченно возрастающая последовательность (скрин). Если возрастающая - значит каждый последуюбщий элемент больше предыдущего. Но ведь для комплексных чисел не определены операции сравнения "<" и ">". Так о каком возрастании в такм случае может идти речь? >> Kron7 08:08, 23 апреля 2014 (UTC) В статье об этом сказано: неограниченно возрастающая по модулю. Такой способ сравненя не является линейным порядком, поскольку из $u\leqslant v\land v\leqslant u$ не следует $u=v$, но для целей теории расширенной плоскости достаточно. LGB 11:19, 23 апреля 2014 (UTC) В статье сказано, а в источнике (Свешников, Тихонов), в разделе "Бесконечно удаленная точка" ничего про модуль нет. Вот определение из источника → [2]. >> Kron7 13:24, 23 апреля 2014 (UTC) Цитирую оттуда же (см. тут несколькими фразами выше: Введем понятие бесконечно удаленной точки комплексной плоскости, существенное для дальнейшего. Пусть дана последовательность комплексных чисел $z_{n}$ такая, что для любого положительного числа R найдется номер N, начиная с которого члены последовательности удовлетворяют условию $|z_{n}|>R$ при $n>N$. Такую последовательность назовем неограниченно возрастающей. То есть модуль встроен в само определение, упоминать его отдельно не требуется. LGB 10:50, 24 апреля 2014 (UTC) Хорошо. >> Kron7 12:08, 24 апреля 2014 (UTC)

Так ведь это по существу не алгебраические операции, а символическая запись предельных соотношений.

Ну, почему же?

Есть операция сложения бесконечности с конечным числом: $z+\infty =\infty \ (z\neq \infty )$. Почему вы называете это монолитной символической записью (или соотношением), но не операцией в классическом ее понимании?

К примеру, есть последовательность $u_{n}=n(1+i)$, где $n\in \mathbb {N}$. Она является неограниченно возрастающей. Бесконечностью в таком случае будет величина, к которой она сходится, т.е. сумма всех элементов этой последовательности:

$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }n(1+i)=(1+i)+(2+2i)...=\infty$

Таким образом получили бесконечность. Теперь применим к ней операцию сложения с конечным числом 1:

$\infty +{\color {Red}1}=\left[\sum _{n=1}^{\infty }n(1+i)\right]+{\color {Red}1}=\left[(1+i)+(2+2i)+...\right]+{\color {Red}1}=({\color {Red}2}+i)+(2+2i)+...=\infty$

Конечное число обычным образом суммируется с первым элементом последовательности (так, и с самой бесконечностью). Никакой монолитной символической записи, просто классическая операция суммирования. >> Kron7 12:08, 24 апреля 2014 (UTC)

Я называю формулу вроде $z+\infty =\infty \ (z\neq \infty )$ монолитной, потому что её (в отличие от её до-предельных прототипов) нельзя трактовать и преобразовывать алгебраически. Если было бы можно, то, сократив обе части на $\infty$, получили бы $z=0.$ Нельзя также переносить $\infty$ в другую часть уравнения и т. п. LGB 12:14, 25 апреля 2014 (UTC)

Терминологические неточности в статье

Впечатление, что текст скопирован из учебника 50 годов XX века. Пример 1. "комплексная сфера" - откуда взят этот термин ? Пример 2. Неверно употребляется слово "изоморфна". 91.77.218.42 16:44, 18 декабря 2015 (UTC)

22.10.2019 Добавлю ложку (надеюсь на конструктивное понимание ситуации): термин "комплексная плоскость" применяется (специалистами по ТФКП, геометрии, алгебре) к $\mathbb {C} ^{2}$, что же касается описываемого в статье объекта $\mathbb {C}$, то он называется (специалистами) "плоскость комплексных чисел" или "плоскость комплексного переменного (количества)" (или "плоскость комплексной переменной (величины)"), или "комплексная прямая". К сожалению, эта терминологическая неточность настолько распространена, что попала даже в учебники. 85.140.1.177 02:22, 22 октября 2019 (UTC) 85.140.1.177 03:27, 22 октября 2019 (UTC)

Ужасная статья

Проще удалить и создать заново, чем переделывать. -- 85.250.145.61 22:16, 30 сентября 2018‎

О ненужных разделах статьи

Довольно большая часть статьи посвящена топологии комплексной плоскости, такие разделы как множества на комплексной плоскости, связность, выпуклые, связные и линейно связные множества, кривые на С, однако зачем они? Топологически комплексная плоскость НИЧЕМ не отличается от обычной. Отличия начинаются ровно с того момента, когда начинает рассматриваться комплексное умножение, но разве для определения связности и выпуклости где то использовалось умножение? Нет. В том-то и дело. Приведëнные свойства присуще гораздо более общим объектам и что интересно более простым — обычным плоскостям. Как мне кажется концентрировать внимание на свойствах обычных плоскостей в статье про комплексную не имеет смысла, лучше всë это переместить в общий случай, а здесь просто оставить раздел "топология", где кратко объяснить как определяется топология, области и пути и сказать, что топология у комплексной плоскости точно такая же, как и у R^2. Arami Mira (обс.) 21:38, 13 июля 2022 (UTC)