Комплексная плоскость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ко́мпле́ксная плоскость[1] — это двумерное вещественное пространство \mathbb{R}^2, которое изоморфно полю комплексных чисел \mathbb{C}. Каждая точка такого пространства — это упорядоченная пара вида (x,y), где x и yвещественные числа, и где первый элемент пары соответствует вещественной части, а второй элемент пары соответствует мнимой части комплексного числа z=x+iy:

x=\mathrm{Re}\,z,
y=\mathrm{Im}\,z.

Упорядоченную пару (x,y) естественно интерпретировать как радиус-вектор с началом в нуле и с концом в точке (x,y).

В силу изоморфизма между \mathbb C и \mathbb{R}^2, алгебраические операции над комплексными числами переносятся на операции над соответствующими им радиус-векторами:

  • сложение комплексных чисел — это сложение соответствующих радиус-векторов;
  • умножение комплексных чисел — это преобразование радиус-вектора, связанное с его поворотом и растяжением.

Результатом компактификации комплексной плоскости является расширенная комплексная плоскость — комплексная плоскость, дополненная бесконечно удалённой точкой, изоморфная комплексной сфере. Комплексная плоскость связана с комплексной сферой, например, стереографической проекцией.

Комплекснозначные функции комплексного переменного обычно интерпретируются как отображения комплексных плоскости или сферы в себя. Поскольку прямые на плоскости (при стереографической проекции) переходят в окружности на сфере, содержащие бесконечно удалённую точку, комплексные функции удобнее рассматривать на сфере.

Рассматривая на комплексной плоскости топологию \mathbb{R}^2, можно вводить понятия открытых или замкнутых множеств, давать определения таким объектам, как кривые и формулировать такие свойства комплексных функций, как непрерывность, дифференцируемость и аналитичность, а комплексное представление позволяет компактно описывать эти свойства на языке соотношений между вещественными и мнимыми частями, а также между модулями и аргументами соответствующих комплексных чисел.

Особую роль в комплексном анализе играют конформные отображения.

Множества на комплексной плоскости[править | править вики-текст]

Открытые множества[править | править вики-текст]

Фундаментальное понятие окрестности вводится на комплексной плоскости очень просто — окрестностью {\mathcal U}_{z_0} точки z_0\in\mathbb C называется множество вида {\mathcal U}_{z_0}=\{z\colon|z-z_0|<r\},\,r>0. Геометрически на комплексной плоскости окрестности имеют очень простой вид — это просто окружности с центром в определенных точках комплексной плоскости. Иногда для удобства требуется рассматривать проколотые окрестности \dot{\mathcal U}_{z_0}={\mathcal U}_{z_0}\setminus\{z_0\}.

Теперь определим открытое множество — согласно одному из вариантов классического определения из общей топологии, открытым множество будет, если оно для любой своей точки содержит некоторую его окрестность. Определение окрестности у нас уже есть, соответственно, открытое множество на \mathbb C полностью определено.

Предельная точка и замкнутое множество[править | править вики-текст]

Определить предельную точку тоже будет нетрудно — точка z_0\in\mathbb C будет предельной для множества G\subset\mathbb C, если для произвольной окрестности {\mathcal U}_{z_0} пересечение {\mathcal U}_{z_0}\cap G будет непусто. Другими словами, точка является предельной, если в произвольной «близости» к ней всегда можно будет найти точки множества. Множество предельных точек иногда называется производным и обозначается G'.

Множество G\subset\mathbb C будет называться замкнутым, если для него справедливо включение G'\subset G. Ясно видно, что для произвольного множества G множество \overline{G}=G\cup G' будет замкнуто; оно называется замыканием множества G.

Граница[править | править вики-текст]

Точка z_0\in\mathbb C будет называться граничной для множества G\subset\mathbb C, если для произвольной окрестности {\mathcal U}_{z_0} пересечения {\mathcal U}_{z_0}\cap G и {\mathcal U}_{z_0}\cap({\mathbb C}\setminus G) будут непусты. Множество всех граничных точек называется граничным множеством \partial G или просто границей.

Всюду плотные множества[править | править вики-текст]

Множество E\subset\mathbb C будет называться всюду плотным в ином множестве G\subset\mathbb C, если для произвольной точки z_0\in G и любой окрестности {\mathcal U}_{z_0} пересечение {\mathcal U}_{z_0}\cap E непусто.

Связность[править | править вики-текст]

Расстояние между множествами[править | править вики-текст]

Как известно из элементарной математики, на комплексной плоскости расстояние между двумя точками равно модулю их разности. Теперь определим расстояние между точкой z_0 и некоторым множеством G\subset\mathbb C как величину \mathrm{dist}\,(z_0,G)=\inf_{z\in G}|z-z_0|.

На базе этого понятия уже можно определить расстояние между двумя произвольными множествами в \mathbb C: \mathrm{dist}\,(G_1,G_2)=\inf_{z\in G_1}\mathrm{dist}\,(z,G_2)=\inf_{z\in G_2}\mathrm{dist}\,(z,G_1).

Связность[править | править вики-текст]

Множество G\subset\mathbb C называется связным, если для него выполнено соотношение \inf_{z_1,z_2\in G}|z_1-z_2|=0. Если данная величина не равна нулю, то множество называется несвязным. Можно показать, что несвязное множество G можно представить в виде объединения (конечного или счетного) \sum G_n, где G_n — непересекающиеся связные множества, называемые связными компонентами множества G. Мощность множества связных компонент называется порядком связности.

Выпуклые, звездные и линейно связные множества[править | править вики-текст]

Множество G\subset\mathbb C называется звездным относительно точки z_0\in G, если для произвольной точки z\in G выполняется включение \overline{z_0z}\subset G.

Множество G\subset\mathbb C называется выпуклым, если оно звездно относительно любой своей точки. Множество G^* называется выпуклой оболочкой множества G, если оно выпукло, G\subset G^* и для любого выпуклого множества G^{**}, содержащего множество G выполняется включение G^*\subset G^{**}.

Ломаной \Gamma называется множество точек комплексной плоскости, представимое в виде объединения отрезков. Множество G называется линейно связным, если для двух произвольных точек z_1,z_2\in G существует ломаная \Gamma\subset G такая, что выполняется z_1,z_2\in\Gamma.

Можно доказать, что любое линейно связное множество будет связным. Отсюда немедленно следует, что связны все выпуклые и звездные множества.

Кривые на \mathbb C[править | править вики-текст]

Кривые и пути[править | править вики-текст]

Кривой или путём на комплексной плоскости \mathbb C называется отображение вида \varphi(t)\colon[0;1]\to\mathbb C. Особо стоит отметить, что при таком определении можно конкретизировать не только вид кривой, который будет зависеть от аналитических свойств функции \varphi(t), но и её направление. Для примера, функции \varphi(t) и \eta(t)=\varphi(1-t) будут определять одинаковую по виду кривую, но проходимую в противоположных направлениях.

Гомотопия кривых[править | править вики-текст]

Кривые \varphi_0(t)\colon[0;1]\to\mathbb C и \varphi_1(t)\colon[0;1]\to\mathbb C называются гомотопными, если существует кривая \xi(t,q)\colon[0;1]\times[0;1]\to\mathbb C, зависящая от параметра q таким образом, что \xi(t,0)\equiv\varphi_0 и \xi(t,1)\equiv\varphi_1.

Расширенная комплексная плоскость и бесконечно удалённая точка[править | править вики-текст]

В комплексном анализе часто полезно рассматривать расширенную комплексную плоскость[2], дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой (z=\infty):

\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}

При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место[2]:

  • \frac{z}{\infty}=0; \ \ z+\infty=\infty \ (z \ne \infty)
  • z \cdot \infty=\infty; \ \ \frac{z}{0}=\infty \ (z \ne 0)

\varepsilon-окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек z, модуль которых больше, чем \varepsilon, то есть внешняя часть \varepsilon-окрестностей начала координат.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Двойное ударение указано согласно следующим источникам.
    • Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
    • Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
    • Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».
    • В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) по необъяснённым причинам предлагаются одновременно ударения Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695).
  2. 1 2 Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 20—21.