Обсуждение:Принцип неопределённости

Вывод соотношения

Почему бы в статье не привести вывод соотношения неопределенностей. Это прояснило бы некоторые вопросы. К тому же сейчас из текста связь между неравенством Коши — Буняковского и соотношением неопределенностей не очевидна.

Итак.

1. Среднеквадратичное отклонение величины $a$ в состоянии $\vert \psi \rangle$ интерпретируется как «неопределенность». Его квадрат равен

$\Delta a^{2}={\overline {(a-{\bar {a}})^{2}}}$,

(эту величину следовало бы обозначить $\sigma _{a}^{2}$, но обозначение $\Delta a^{2}$ традиционно). Тем самым:

$\Delta a^{2}=\langle \psi \vert (A-{\bar {a}})^{2}\vert \psi \rangle$.

Удобно ввести обозначение ${\tilde {A}}\equiv A-{\bar {a}}=A-\langle \psi \vert A\vert \psi \rangle$, причем если $A$ — непрерывный самосопряженный (эрмитов) оператор, то ${\tilde {A}}$ — также эрмитов. Здесь вычитаемое ${\bar {a}}$ понимается в смысле ${\bar {a}}I$, где $I$ — тождественный оператор. Тогда

$\Delta a=\Vert {\tilde {A}}\psi \Vert$.

2. Составим произведение неопределенностей величин $a$ и $b$:

$\Delta a\Delta b=\Vert {\tilde {A}}\psi \Vert \Vert {\tilde {B}}\psi \Vert \geqslant \vert \langle {\tilde {A}}\psi \vert {\tilde {B}}\psi \rangle \vert$

по неравенству Коши — Буняковского. Раскроем скалярное произведение справа:

$\langle {\tilde {A}}\psi \vert {\tilde {B}}\psi \rangle =\langle (A-{\bar {a}})\psi \vert (B-{\bar {b}})\psi \rangle =\langle A\psi \vert B\psi \rangle -{\bar {a}}\langle \psi \vert B\psi \rangle -{\bar {b}}\langle A\psi \vert \psi \rangle +{\bar {a}}{\bar {b}}\langle \psi \vert \psi \rangle =\langle A\psi \vert B\psi \rangle -{\bar {a}}{\bar {b}}$.

Здесь учтено, что ${\bar {a}}$ — величина вещественная, и что вектор $\vert \psi \rangle$ нормирован.

3. Если некоторая величина $r\geqslant \vert z\vert$, то $r\geqslant \operatorname {Im} z=\vert z-z^{*}\vert /2$. Следовательно

$\Delta a\Delta b\geqslant {1 \over 2}\vert \langle A\psi \vert B\psi \rangle -\langle A\psi \vert B\psi \rangle ^{*}\vert ={1 \over 2}\vert \langle \psi \vert AB\psi \rangle -\langle \psi \vert BA\psi \rangle \vert$,

в силу самосопряженности операторов. Тогда окончательно:

$\Delta a\Delta b\geqslant {1 \over 2}\vert \langle \psi \vert [A,B]\psi \rangle \vert$

— неравенство Робертсона. Коммутатор не является самосопряженным, поскольку $[A,B]^{+}=[B,A]$.

4. Если коммутатор представляет собой с точностью до постоянного множителя $M$ тождественный оператор, то

$\Delta a\Delta b\geqslant {1 \over 2}\vert M\vert$.

Так, для проекции импульса и координаты имеем:

$[{\hat {p}}_{x},{\hat {x}}]=-i\hbar \left({\frac {\partial }{\partial x}}(x\;\cdot \;)-x{\frac {\partial }{\partial x}}\right)=-i\hbar$.

Отсюда:

$\Delta p_{x}\Delta x\geqslant {\hbar \over 2}$

— неравенство Гейзенберга.

влияние измерения

«…То, что влияние измерения на импульс несущественно, может быть показано следующим образом: рассмотрим ансамбль (невзаимодействующих) частиц приготовленных в одном и том же самом состоянии; для каждой частицы в ансамбле мы измеряем либо импульс либо координату, но не обе величины. В результате измерения мы получим, что значения распределены с некоторой вероятностью и для дисперсий dp и dq верно отношение неопределенности.…» — Объясните, пожалуйста, почему из приведенного мысленного эксперимента следует, что влияние измерения на импульс несущественно? В этом рассуждении хоть где-нибудь упомянуто измерение импульса частицы после измерения ее координаты? --Begemotv2718 22:22, 19 июня 2006 (UTC)

Арбатский

И еще. Насчет Д.А. Арбатского. Нельзя ли привести кроме ссылки на статью на narod.ru также ссылки на какой-нибудь рецензируемый журнал? А то слегка подозрительно выглядит. --Begemotv2718 22:31, 19 июня 2006 (UTC)

Насчет печати в рецензируемом журнале- многие люди с хорошими, но не до конца сформированными теориями и подтеориями опасаются того, что идеи могут быть "безвоздмездно позаимствованны" другими людьми, и есть мало желающих отдавать свои разработки полностью государственным структурам (как извесно авторские права забирает редакция) Dikoobraz

• Предлагаю удалить ссылку на Арбатского, как не относящуюся к теме статьи.

Dendee 07:45, 8 июня 2008 (UTC)

о измерениях

Хотелось бы отметить, что термин "неопределенность", фигурирующий в названии принципа, имеет в первую очередь вероятностно-статистический характер, поэтому это понятие следует применять именно в смысле статистической дисперсии распределения. Кроме того, было бы здорово свести к минимуму, а то и вообще отказаться от понятия "ошибки измерения" и родственных ему, поскольку неопределенности, затрагиваемые принципом существуют сами по себе и, вообще говоря, без абстрактного измерителя, который нужен, по-сути, только для того, чтобы убедиться в справедливости принципа. Spielmann 21:40, 2 мая 2008 (UTC)

"Вопреки распространенной ошибке, принцип неопределенности ничего не говорит о предельной точности измерений. ... Отношения неопределенности Гейзенберга — это теоретический предел точности любых измерений."

Мне показалось или тут какое-то противоречие?

DEADoomik 23:40, 18 октября 2008 (UTC)

Да, противоречие есть. Принцип неопределенности действительно ничего не говорит о предельной точности измерений хотя бы потому, что предельной точности одиночного измерения не существует (теоретически, действительно можно сколь угодно точно измерить, например, координату чего-нибудь).

Пример, приведенный в начале статьи ("Обычно принцип неопределённости иллюстрируется следующим образом..."), вообще говоря, некорректен. Принцип неопределенности дает ограничение на произведение дисперсий координаты и импульса (или любых других некоммутирующих операторов) в каком-либо _одном_ состоянии. Подчеркну - одном и том же. Однако, после измерения состояние частицы изменяется. Упоминаемые в приведенном примере дисперсии координаты и импульса, таким образом, относятся к разным состояниям, и использовать их одновременно не имеет смысла. Некорректность этого примера разрешается в разделе "краткий обзор", на мой взгляд, пример оттуда следует вставить в начало для иллюстрации. Править не решился, ибо не продумал структуру того, что должно получиться. Spielmann 23:35, 21 февраля 2009 (UTC)

Не совсем так. Если под результатом измерения подразумевать среднее значение оператора (как обычно и делается), то принцип неопределённости всё-таки накладывает ограничения на возможную точность. При этом, разумеется, речь идёт об измерении разных величин для одного и того же состояния. Например, пусть есть набор частиц в одном состоянии, у одних мы измеряем импульс, у других - координату. Тогда дисперсии результатов будут подчиняться соотношению неопределённости. В этом случае мы рассматриваем, конечно, идеальные измерения, полностью описывающиеся своим линейным оператором. --Мышонок 13:22, 22 февраля 2009 (UTC)

Ок, давайте проясним. Какой смысл, по-вашему, несут буквы "дельта", которые обычно используются в записи $\Delta x\Delta p>\hbar /2$? Мне привычно думать, что это именно дисперсии (в статистическом смысле, другого не знаю) этих величин, вычисленные в каком-то состоянии. Они, насколько я понимаю, никоим образом не зависят от измерения. Далее возникает вопрос, что вы понимаете под точностью измерения и непосредственно под понятием "измерение"? От ответа на этот вопрос зависит возможность обсудить связь их с принципом неопределенности. Заранее спасибо, Spielmann 01:38, 24 февраля 2009 (UTC)

Я согласен, что Δ - это дисперсии. Что такое измерение - вопрос философский, в который я вдаваться не буду, смысла нет. Но результаты измерения возникают с разной вероятностью, зависящей от проекций данного состояния на собственные состояния оператора измерения. Этим результатам также соответствует дисперсия, в обычном статистическом смысле. Под сколь угодно точными измерениями как раз естественно подразумевать измерения со сколь угодно малой дисперсией, так как именно она определяет ширину интервала, содержащего 99% вех результатов. Однако дисперсии в формуле соответствуют идеальной дисперсии идеального измерения. Ясно, что реальный результат будет хуже (больше дисперсия), в силу неконтролируемых возмущений и погрешности аппаратуры. В этом смысле принцип неопределённости как раз накладывает связь на минимальные погрешности измерения координаты и импульса в некотором состоянии. Говорить о точности отдельного измерения, разумеется, бессмысленно, можно говорить лишь о серии измерений и её статистических параметрах. --Мышонок 18:29, 24 февраля 2009 (UTC)

Уточнение: Δ - это не дисперсии, а среднеквадратичное отклонение, и соотношение неопределенностей не связано с теорией измерений, а все упоминания в викистатье измерений - от лукавого.

Интерпретации

Поправьте, пожалуйста, цитату Эйнштейна: "...überzeugt, dass der Alte..." 77.181.170.93 00:11, 19 марта 2009 (UTC)

• Спасибо, поправил. Но Вы можете это делать сами. --Мышонок 09:24, 19 марта 2009 (UTC)

Что именно измеряется?

В принципе, об этом говорилось выше, но с учётом конфликта мнений стоит прояснить ситуацию. В принципе неопределённости идёт речь об одновременном определении импульса и координаты для одной и той же квантовой системы. Это не то же самое, что и «для одной и той же частицы». Квантовая система характеризуется своим вектором состояния $\psi$. Одновременное определение координаты и импульса в нём — это вычисление величин $\langle \psi \mid {\hat {p}}_{x}\mid \psi \rangle$ и $\langle \psi \mid {\hat {q}}_{x}\mid \psi \rangle$. Об этом идёт речь в физ. энциклопедии. Но если проводить измерения с реальной частицей — ситуация будет другой. После измерения координаты система окажется в состоянии ${\hat {q}}_{x}\psi$ и измерение импульса даст величину $\langle {\hat {q}}_{x}\psi \mid {\hat {p}}_{x}\mid {\hat {q}}_{x}\psi \rangle$. Поэтому в реальности надо брать ансамбль одинаковых частиц и измерять для них только координату или импульс. --Мышонок 15:49, 6 апреля 2009 (UTC)

Я должен извиниться за такую правку. Но написанная Вами трактовка непривычна (по крайней мере так не учат в технических вузах). Если Вилкинс в своей лаборатории измеряет импульс, а Ложкинс у себя измеряет координату, то как дисперсии результатов могут быть взаимосвязаны? - Mathaddict 14:48, 11 июня 2009 (UTC)

Если они сумели-таки приготовить свои системы в идентичных состояниях, то это ничем не отличается от измерений, при которых сегодня Вилкинс измерял координаты частиц, а завтра — импульсы. Все результаты измерений полностью определяются состоянием частицы и данным оператором измеряемой величины. Операторы измерения координаты и импульса в данном опыте полностью определят нижнюю границу дисперсии измеряемых величин.

P.S.: Состояния после измерения в посте выше я указал не совсем верно, но на смысле утверждения это не отражается. Главное, что после измерения величины состояние частицы уже будет другим. --Мышонок 22:47, 11 июня 2009 (UTC)

ЭПР

То: Astrohist. Вижу Вы взялись за эту статью. Это хорошо, а то она очень корявая. Если будет желание, гляньте на Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена#Объяснение парадокса. Этот раздел я написал, но не полностью уверен в общепризнанности такой трактовки. Интересна Ваша точка зрения. --Source 18:11, 17 мая 2010 (UTC)

Волноведение (to Artem Korzhimanov)

Артем, в чём (главная) причина того, что вы удалили фрагмент про волноведение, имеющий прямое отношение к квантовой механике? Сергей Сашов 19:21, 25 января 2012 (UTC)

О популярной литературе

Что-то у меня большие сомнения, что неопределённость Гейзенберга никак не связана со взаимодействием, потому что эта аналогия используется в книге Вселенная Стивена Хокинга. Там прямо объясняется это взаимодействием при измерении, но с указанием, что взаимодействие вносит непредсказуемый вклад в скорость частицы. Так же там говорится, о зависимости неопределённости от энергии кванта, которым производим измерение частицы.

На утверждение поставил запрос источника. Русские идут! 15:52, 16 июля 2012 (UTC)

• «Ента вапрос скарея хвиласовский.» В разных интерпретациях квантовой механики источник неопределённости относят к различным частям измерительной системы из квантового объекта и классического прибора. Вроде как доминирующий на сегодня взгляд — что это фундаментальное свойство именно самой квантовой системы, но не процедуры измерения как таковой. Такой взгляд, как Вы изложили — это ранний вариант копенгагенской интерпретации. --Melirius 06:02, 17 июля 2012 (UTC)

Спасибо. Теперь понятно. Русские идут! 12:21, 17 июля 2012 (UTC)

Дочитал до объяснения излучения Хокинга. Получается, что это действительно фундаментальное свойство. Рождение виртуальных частиц в физическом вакууме обязано принципу неопределённости. Русские идут! 17:26, 18 июля 2012 (UTC)

В некотором смысле — да, это чисто квантовый эффект. --Melirius 07:20, 19 июля 2012 (UTC)

Нарушение принципа неопределённости

Получены экспериментальные данные о нарушении принципа неопределённости. [1]. Phys. Rev. Lett. 109, 100404 (2012) published 6 September 2012Lars78 12:43, 13 сентября 2012 (UTC)

• У меня сейчас нет доступа к этой статье, но в любом случае с такими вещами торопиться не стоит. Пусть сначала всё перепроверят, а то может получиться как с нейтрино. Тем более что вопрос здесь тонкий, речь идёт не о нарушении ПН в фундаментальном смысле, а о некоторой прикладной трактовке. --Мышонок 15:23, 13 сентября 2012 (UTC)

Хорошо, можно написать наподобие «… получены экспериментальные данные позволяющее говорить о том, что принцип неопределённости, возможно, в некоторых случаях требует корректировки». В такой формулировке и вероятность, и граничные условия. Уж больно серьёзный журнал Physical Review Letters, если не самый серьёзный по физике. У нас тут молва (или анекдот?) ходит, кто в физ.летерс опубликовался то докторскою автоматом.Lars78 23:31, 13 сентября 2012 (UTC)

мысленный эксперимент Гейзенберга

Из статьи фотон надо бы сюда скопировать. Он многое поясняет! --Nashev 09:39, 25 апреля 2013 (UTC)

Вопросы (требуется уточнение)

"следуют.. нулевые колебания"

"Из соотношения неопределенностей следует... что в состоянии вакуума поля совершают нулевые колебания" © из ст. Нулевые колебания — и каким же это образом? (в статье и полслова нету, а ведь фундаментальное заявление) --Tpyvvikky 19:28, 6 января 2014 (UTC)

• Ну, это скорее этакий не до конца точный словесный образ явления, выражаемого точно только формулами. --Melirius 00:00, 8 января 2014 (UTC)

"запрещает точное определение"

В ст. Фотон видим утверждение что "Ключевым элементом квантовой механики является принцип неопределённости Гейзенберга, который запрещает одновременное точное определение пространственной координаты частицы и её импульса по этой координате." (ист.: Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике (3 — излучение, волны, кванты; 4 — кинетика, теплота, звук), 1976, том 1, стр. 218-220) — тут же столь категоричного (однозначного) утверждения уже не видим.. о.О --Tpyvvikky 19:40, 6 января 2014 (UTC)

• Ну, а здесь что, по-другому, что ли, написано? «Согласно принципу неопределённостей у частицы не могут быть одновременно точно измерены положение и скорость (импульс).» В физике раз уж не могут, то совсем не могут. --Melirius 00:00, 8 января 2014 (UTC)

"(то есть почти любое наблюдение изменяет состояние)"

Какие наблюдения не меняют состояние?--Thinker 11:48, 28 июля 2014 (UTC)

скорее всего - такие измерения, наверняка. --Tpyvvikky (обс.)

Принцип неопределенностей на планковском масштабе

В статье нужно упомянуть о соотношении неопределенностей $\Delta r_{g}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}$, где $r_{g}$ — гравитационный радиус, $r$ — радиальная координата, $\ell _{P}$ — планковская длина, которое является другой формой соотношения неопределенностей Гейзенберга между импульсом и координатой применительно к планковскому масштабу. Действительно, это соотношение можно написать в следующем виде: $\Delta (2Gm/c^{2})\Delta r\geq G\hbar /c^{3}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $m$ — масса тела, $c$ — скорость света, $\hbar$ — постоянная Дирака. Сокращая слева и справа одинаковые константы, приходим к соотношению неопределенностей Гейзенберга $\Delta (mc)\Delta r\geq \hbar /2$. Указанное соотношение неопределенностей предсказывает появление виртуальных черных дыр и червоточин (квантовой пены) на планковском масштабе. Также существует соотношение неопределенностей Бора - Розенфельда между гравитационным потенциалом $g$ и длиной $L$, а именно: $\Delta g(\Delta L)^{2}\gtrsim \ell _{P}^{2}$ . Напоминает выражение для инвариантного интервала $g_{ik}x^{i}x^{k}=S^{2}$. Все эти формы связаны между собой. 37.45.35.232 08:59, 27 февраля 2017 (UTC)