Ортогональная система координат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ортогональными называются координаты в которых метрический тензор имеет диагональный вид.


ds^{2} = \sum_{k=1}^{d} \left( h_{k} dq^{k} \right)^{2}

где d


h_{k}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{kk}(\mathbf{q})} = |\mathbf e_k|

В ортогональных системах координат q = (q1, q², …, qd) координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат ортогональны друг другу координатные оси Ox, Oy и Oz. Ортогональные координаты представляют собой частный случай криволинейных координат. Наиболее часто в качестве ортогональных координат используются декартовы координаты, так как именно в этих координатах большинство уравнений имеют наиболее простой вид. Прочие системы ортогональных координат используются реже, в частности, для решения краевых задач, таких как задача о теплопроводности, диффузии и т. д. Выбор той или иной системы ортогональных координат определяется симметрией системы. Например, при решении задачи о распространении электромагнитной волны от точечного источника выгодно пользоваться сферической системой координат; при решении задачи о колебании мембраны предпочтительней цилиндрическая система координат.

Математические преобразования[править | править исходный текст]

Базисные векторы[править | править исходный текст]

В ортогональных системах скалярное произведение базисных векторов равно:

e_{i}\cdot e_{j}=0,\begin{matrix}
   {} & i\ne j  \\
\end{matrix} В большинстве случаев используют нормированные базисные векторы, для которых e_{i}^{\left( n \right)}=\frac{e_{i}}{\left| e_{i} \right|}

Для нормированных базисных векторов e_{i}\cdot e_{j}=\delta _{ij}, где

\delta _{ij} — символ Кронекера.

Скалярное произведение[править | править исходный текст]

Скалярное произведение векторов в ортогональных системах вычисляется по формуле:

\mathbf x \cdot \mathbf y = \sum h_i^2 x^i y^i = \sum \frac{x_i y_i}{h_i^2} = \sum x^i y_i = \sum x_i y^i

Векторное произведение[править | править исходный текст]

Векторное произведение в ортогональных системах координат вычисляется по формуле:

\mathbf x \times \mathbf y = \sum x^i \mathbf e_i \times \sum y^i \mathbf e_i = 
\sum x^i h_i \hat \mathbf e_i \times \sum y^i h_i \hat \mathbf e_i