Сферическая система координат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Точка P имеет три декартовых и три сферических координаты

Сферическую систему координат удобно определять, соотносясь с декартовой прямоугольной системой координат (см. рисунок):

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат (r,\;\theta,\;\varphi), где r — расстояние до начала координат, а \theta и \varphi — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Вообще зенит — это направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей так называемой фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Применительно к нашему рисунку сферической системы координат, фундаментальная плоскость — это плоскость xy. Зенит — некая удалённая точка, лежащая на оси Z и видимая из начала координат. Азимут отсчитывается от оси X до проекции радиус-вектора r на плоскость xy. Это объясняет названия углов, как и то, что сферическая система координат может служить обобщением (пусть хотя бы и приближённым) множества видов систем небесных координат.

Определения[править | править вики-текст]

Три координаты (r,\;\theta,\;\varphi) определены как:

  • r\geqslant 0 — расстояние от начала координат до заданной точки P.
  • 0\leqslant\theta\leqslant 180^\circ — угол между осью Z и отрезком, соединяющим начало координат и точку P.
  • 0\leqslant\varphi< 360^\circ — угол между осью X и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой P, на плоскость XY (в Америке углы \theta и \varphi меняются ролями[источник не указан 872 дня]).

Угол \theta называется зенитным, или полярным, или нормальным, а также он может быть назван английским словом colatitude, а угол \varphi — азимутальным. Углы \theta и \varphi не имеют значения при r=0, а \varphi не имеет значения при \sin(\theta)=0 (то есть при \theta=0 или \theta=180^\circ).

Зависимо или независимо от стандарта (ISO 31-11), существует и такое соглашение или конвенция (англ. convention), когда вместо зенитного угла \theta, используется угол между проекцией радиус-вектора точки r на плоскость xy и самим радиус-вектором r, равный 90^\circ — \theta. Он называется углом подъёма и может быть обозначен той же буквой \theta. В этом случае он будет изменяться в пределах -90^\circ\leqslant\theta\leqslant 90^\circ.

Тогда углы \theta и \varphi не имеют значения при r=0, так же как и в первом случае, а \varphi не имеет значения при \cos(\theta)=0, (уже при \theta=-90^\circ или \theta=90^\circ).

Переход к другим системам координат[править | править вики-текст]

  • Декартова система координат
    • Если заданы сферические координаты точки, то переход к декартовым осуществляется по формулам:
      \begin{cases}
x=r\sin\theta\cos\varphi, \\
y=r\sin\theta\sin\varphi, \\
z=r\cos\theta.
\end{cases}
    • Обратно, от декартовых к сферическим:
      \begin{cases}
r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \\
\theta=\arccos\left({\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}\right)=\mathrm{arctg}\left({\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}\right), \\
\varphi=\mathrm{arctg}\left({\dfrac{y}{x}}\right).
\end{cases}
      • (здесь, конечно, требуется определенное естественное уточнение для значений \varphi вне первого октанта; то же для всех формул с арктангенсом здесь и ниже; впрочем, замена на соответствующую формулу с арккосинусом снимает этот вопрос в отношении координаты \theta).
    • Якобиан преобразования от декартовых к сферическим:
      J=r^2\sin\theta.\
  • Цилиндрическая система координат
    • Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:
      \begin{cases}
\rho=r\sin\theta, \\
\varphi=\varphi, \\
z=r\cos\theta.
\end{cases}
    • Обратно от цилиндрических к сферическим:
      \begin{cases}
r=\sqrt{\rho^2+z^2}, \\
\theta=\mathrm{arctg}\left(\dfrac{\rho}{z}\right), \\
\varphi=\varphi.
\end{cases}
    • Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим:
      J=r.\

Дифференциальные характеристики[править | править вики-текст]

Вектор \mathrm{d}\mathbf{r}, проведённый из точки (r,\theta,\varphi) в точку (r+\mathrm{d}r, \,\theta+\mathrm{d}\theta, \, \varphi+\mathrm{d}\varphi), равен

\mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}r\,\boldsymbol{\hat r} + r\,\mathrm{d}\theta \,\boldsymbol{\hat\theta } + r \sin{\theta} \, \mathrm{d}\varphi\,\mathbf{\boldsymbol{\hat \varphi}},

где


\boldsymbol{\hat r}
=\sin \theta \cos \phi \boldsymbol{\hat{\imath}} + 
\sin \theta \sin \phi \boldsymbol{\hat{\jmath}} +  
\cos \theta \boldsymbol{\hat{k}}
 \boldsymbol{\hat\theta }
=\cos \theta \cos \phi\boldsymbol{\hat{\imath}} + 
\cos \theta \sin \phi \boldsymbol{\hat{\jmath}} 
-\sin \theta \boldsymbol{\hat{k}}

\boldsymbol{\hat \varphi}
=-\sin \phi \boldsymbol{\hat{\imath}} + \cos \phi \boldsymbol{\hat{\jmath}}

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения r,\theta,\varphi, соответственно, а \boldsymbol{\hat{\imath}}, \boldsymbol{\hat{\jmath}}, \boldsymbol{\hat{k}} — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

g_{ij}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0\\ 0 & 0 & r^2\sin^2\theta
\end{pmatrix},\quad
g^{ij}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 0 & \dfrac{1}{r^2} & 0\\ 0 & 0 & \dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}
\end{pmatrix}
  • \det(g_{ij})=r^4\sin^2\theta.\
  • Квадрат дифференциала длины дуги:
ds^2=dr^2+r^2\,d\theta^2+r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2.
H_r=1,\quad H_\theta=r,\quad H_\varphi=r\sin\theta.
\Gamma^1_{22}=-r,\quad \Gamma^1_{33}=-r\sin^2\theta,
\Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\Gamma^3_{13}=\Gamma^3_{31}=\frac{1}{r},
\Gamma^2_{33}=-\cos\theta\sin\theta,\quad \Gamma^3_{23}=\Gamma^3_{32}=\mathrm{ctg}\,\theta.

Остальные равны нулю.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]