Прямое произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Прямое или декартово произведение двух множеств — это множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.

Понятие прямого произведения естественно обобщается на произведение множеств с дополнительной структурой (алгебраической, топологическиой, и т. д.) поскольку произведение множеств часто наследует структуры, имевшиеся на исходных множествах.

Прямое произведение в теории множеств[править | править исходный текст]

Произведение двух множеств[править | править исходный текст]

               
в в в в в в в в
и и и и и и и и
к к к к к к к к
Произведение множества {в, и, к}
на множество цветов радуги

Пусть даны два множества X и Y. Прямое произведение множества X и множества Y есть такое множество X \times Y, элементами которого являются упорядоченные пары (x,y) для всевозможных x\in X и y\in Y.

Отображения произведения множеств в его множители — \varphi\colon X\times Y\to X,\; \varphi(x,y)=x и \psi\colon X\times Y\to Y,\; \psi(x,y)=y — называют координатными функциями.

Аналогично определяется произведение конечного семейства множеств.

Комментарии[править | править исходный текст]

Строго говоря, тождество ассоциативности A \times (B \times C) = (A \times B) \times C не имеет места, но в силу существования естественного взаимно однозначного соответствия между множествами A \times (B \times C) и (A \times B) \times C этим различием можно зачастую пренебречь.

Декартова степень[править | править исходный текст]

000 001 002 010 011 012 020 021 022
100 101 102 110 111 112 120 121 122
200 201 202 210 211 212 220 221 222
{0, 1, 2}3, 33 = 27 элементов

n-я Декартова степень множества X определяется для целых неотрицательных n, как n-кратное Декартово произведение X на себя:


\begin{matrix}
 \underbrace{X\times X\times \ldots \times X}. 
\\
 n
\end{matrix}

Обычно обозначается как X^n или X^{\times n}.

При положительных n Декартова степень X^n состоит из всех упорядоченных наборов (кортежей) элементов из X длины n. Так вещественное пространство \mathbb{R}^3 (множество кортежей из трех вещественных чисел), есть 3 степень множества вещественных чисел \mathbb{R}.

При n=0, Декартова степень X^0, по определению, содержит единственный элемент — пустой кортеж.

Прямое произведение семейства множеств[править | править исходный текст]

В общем случае, для произвольного семейства множеств (не обязательно различных) \{X_i\}_{i\in I} (множество индексов может быть бесконечным) прямое произведение X = \prod_{i\in I} X_i определяется как множество функций, сопоставляющих каждому элементу i\in I элемент множества X_i:


\prod_{i\in I} X_i = \{f\colon I \to \bigcup\limits_{i\in I} X_i \mid f(i) \in X_i, i \in I \}.

Отображения \pi_i \colon X \to X_i \colon f \mapsto f(i) называются проекциями.

В частности, для конечного семейства множеств \{A_1, \dots ,A_n\} любая функция  f:\{1,\dots ,n\} \to \bigcup\limits_{i = 1}^n A_i с условием f(i) \in A_i эквивалентна некоторому кортежу длины n, составленному из элементов множеств \{A_i\}_{i = 1}^n, так, что на i-ом месте кортежа стоит элемент множества A_i. Поэтому декартово (прямое) произведение конечного числа множеств \{A_i\}_{i = 1}^n может быть записано так:


A_1 \times \dots \times A_n = \{(a_1, \dots ,a_n) \mid a_i \in A_i, i \in \{1, \dots ,n\}\}.

Проекции определяются следующим образом: \pi_i\colon (a_1,\dots a_n) \mapsto a_i

Прямое произведение отображений[править | править исходный текст]

Пусть f — отображение из A в B, а g — отображение из X в Y. Их прямым произведением f\times g называется отображение из A\times X в B\times Y: (f\times g)(a,\; x) = (f(a),\; g(x)).

Аналогично вышеизложенному, данное определение обобщается на многократные и бесконечные произведения.

Воздействие на математические структуры[править | править исходный текст]

Прямое произведение групп[править | править исходный текст]

Прямое (декартово) произведение двух групп (G,*) и (H,\circ) — это группа из всех пар элементов (g,h) с операцией покомпонентного умножения: (g_1,h_1)\times(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1\circ h_2). Эта группа обозначается как G\times H. Ассоциативность операции умножения в группе G\times H следует из ассоциативности операций перемножаемых групп. Сомножители G и H изоморфны двум нормальным подгруппам своего произведения, \{(g,1_H)\mid g\in G\} и \{(1_G,h)\mid h\in H\} соответственно. Пересечение этих подгрупп состоит из одного элемента (1_G,1_H), который является единицей группы-произведения. Координатные функции произведения групп являются гомоморфизмами.

Это определение распространяется на произвольное число перемножаемых групп. В случае конечного числа прямое произведение изоморфно прямой сумме. Отличие возникает при бесконечном числе множителей.

В общем случае, \overline{\prod_{i\in I}} G_i=\{f\colon I\to\bigcup_{i\in I} G_i\}, где f(i)\isin G_i и (f_1\times f_2)(i)=f_1(i)*f_2(i). (Операция в правой части — это операция группы G_i.) Единицей группы-произведения будет последовательность, составленная из единиц всех перемножаемых групп: (1_i),\; i\in I. Например, для счётного числа групп: \overline{\prod_{i\in\mathbb{N}}} \mathbb{Z}_2=(2^\mathbb{N},\; \operatorname{xor}), где в правой части стоит множество всех бесконечных двоичных последовательностей.

Подгруппа на множестве всех f, носитель которых (то есть множество \mathrm{supp}\,(f) = \{i\in I\mid f(i)\ne 1_i\}) конечен, называется прямой суммой. Например, прямая сумма того же самого набора множеств \prod_{i\in\mathbb{N}} \mathbb{Z}_2\ =\ (\mathbb{N},\; \operatorname{xor}) содержит все двоичные последовательности с конечным числом единиц, а их можно трактовать как двоичные представления натуральных чисел.

Прямое произведение других алгебраических структур[править | править исходный текст]

Аналогично произведению групп, можно определить произведения колец, алгебр, модулей и линейных пространств, причём в определении прямого произведения 1_i (см. выше) следует заменить нулём. Определение произведения двух (или конечного числа) объектов совпадает с определением прямой суммы. Однако, вообще говоря, прямая сумма отличается от прямого произведения: например, прямое произведение счётного множества копий \mathbb R суть пространство всех последовательностей действительных чисел, тогда как прямая сумма — пространство тех последовательностей, у которых только конечное число членов ненулевые (т. н. финитных последовательностей).

Прямое произведение топологических пространств[править | править исходный текст]

Пусть X и Y — два топологических пространства. Топология произведения X\times Y задаётся базой, состоящей из всевозможных произведений U\times V, где U — открытое подмножество X и V — открытое подмножество Y.

Определение легко обобщается на случай произведения нескольких пространств. Для бесконечного произведения X = \Pi X_i определение усложняется. Определим открытый цилиндр Cyl(i,\;U) = \{x\in X\mid x_i\in U\}, где i\in I и U — открытое подмножество X_i.

Топология бесконечного произведения будет задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров (такая топология аналогична компактно-открытой топологии пространств отображений если считать индексное множество I имеющим дискретную топологию).

Теорема Тихонова утверждает компактность произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования аксиомы выбора (или равносильных ей утверждений теории множеств).

Также, теорема Александрова показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение связных двоеточий, если только выполнена аксиома Колмогорова.

Прямое произведение графов[править | править исходный текст]

  —
—
—

Множество вершин прямого произведения двух графов G и H задаётся как произведение вершин графов сомножителей. Рёбрами будут соединены следующие па́ры вершин:

  • (g,\;h)(g',\;h), где g и g' — соединённые ребром вершины графа G, а h — произвольная вершина графа H;
  • (g,\;h)(g,\;h'), где g — произвольная вершина графа G, а h и h' — соединённые ребром вершины графа H.

Иначе говоря, множество рёбер произведения графов является объединением двух произведений: рёбер первого на вершины второго, и вершин первого на рёбра второго.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Идея прямого произведения получила дальнейшее развитие в теории категорий, где она послужила основой для понятия произведения объектов. Неформально, произведение двух объектов A и B — это наиболее общий объект в данной категории, для которого существуют проекции на A и B. Во многих категориях (множеств, групп, графов, …) произведением объектов является именно их прямое произведение. Важно, что в большинстве случаев важно не столько конкретное определение прямого произведения, сколько указанное выше свойство универсальности. Различные определения будут давать при этом изоморфные объекты.

См. также[править | править исходный текст]