Мощность множества

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Мощность множества, кардинальное число множества (лат. cardinaliscardo — главное обстоятельство, стержень, сердцевина) — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:

  1. Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно-однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность).
  2. Обратно: множества, равные по мощности, должны допускать такое взаимно-однозначное соответствие.
  3. Часть множества не превосходит полного множества по мощности (то есть по количеству элементов).

До построения теории мощности множеств, множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.

Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.

Мощность множества A обозначается через |A|. Сам Кантор использовал обозначение \overline{\overline{A}}. Иногда встречаются обозначения \# A и \mathrm{card}(A).

Определение[править | править вики-текст]

При соблюдении аксиомы выбора мощность множества формально определяется как наименьшее порядковое число \alpha, при котором между X и \alpha можно установить биективное соответствие. Данное определение также называется распределением кардинальных чисел по фон Нейману. Если мы не принимаем аксиому выбора, требуется иной подход. Самое первое определение мощности множества X (оно неявно присутствует в работах Кантора и явным образом сформулировано у Фреге, а также в Principia Mathematica) представляет собой класс [X] всех множеств, равномощных X. В аксиоматических системах, основанных на теории ZFC, такое определение неприменимо, поскольку при непустом X такая совокупность слишком велика, чтобы подходить под определение множества. Точнее, если X \ne \varnothing, то существует инъективное отображение универсального множества в [X], при котором каждое множество m переходит в \{m\} \times X, откуда, в силу аксиомы ограничения размера следует, что [X] - собственный класс. Данное определение можно использовать в теории типов и "новых основаниях", а также в связанных с ними аксиоматических системах. В случае ZFC определение можно использовать, если ограничить коллекцию [X] равномощными множествами с наименьшим рангом (этот прием, предложенный Даной Скоттом, работает благодаря тому, что совокупность объектов, обладающих заданным рангом, является множеством).

Формальный порядок среди кардинальных чисел вводится следующим образом: |X| \le |Y| означает, что множество X можно инъективно отобразить на Y. Согласно теореме Кантора-Бернштейна, из пары неравенств |X| \le |Y| и |Y| \le |X| следует, что |X| = |Y|. Аксиома выбора эквивалентна утверждению о том, что для любых множеств X и Y выполняется, по крайней мере, одно из неравенств |X| \le |Y| или |Y| \le |X|.

Множество X называется бесконечным по Дедекинду, если в нем существует такое собственное подмножество Y, что |X| = |Y|. В противном случае множество называется конечным по Дедекинду. Конечные кардинальные числа совпадают с обычными натуральными числами - иначе говоря, множество X конечно тогда и только тогда, когда |X| = |n| = n при некотором натуральном n. Все остальные множества бесконечны. При соблюдении аксиомы выбора можно доказать, что определения по Дедекинду совпадают со стандартными. Кроме того, можно доказать, что мощность множества натуральных чисел \aleph_0 (алеф-нуль, или алеф-0 - название образовано от первой буквы еврейского алфавита \aleph) представляет собой наименьшее бесконечно большое кардинальное число, то есть в любом бесконечном множестве есть подмножество мощности \aleph_0. Следующее по порядку кардинальное число обозначается \aleph_1 и так далее. Любому порядковому числу \alpha соответствует кардинальное число \aleph_\alpha, причем таким образом можно описать любое бесконечно большое кардинальное число.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Мощность множества натуральных чисел {\mathbb N} обозначается символом \aleph_0алеф-нуль»). Множество называется бесконечным, если его мощность \geqslant\aleph_0 (не меньше мощности множества натуральных чисел), таким образом, счётные множества — это «самые маленькие» из бесконечных множеств. Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначаются \aleph_1, \aleph_2,\dots\aleph_\omega,\aleph_{\omega+1},\dots\aleph_{\omega_1},\dots (где индекс пробегает все порядковые числа). Среди кардинальных чисел нет наибольшего: для любого множества кардинальных чисел существует кардинальное число, большее всех элементов этого множества.
  • Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: «равенство», «больше», «меньше». То есть для любых множеств A и B возможно только одно из трёх:
    1. |A|=|B|, или A и B равномощны;
    2. |A|>|B|, или A мощнее B, т. е. A содержит подмножество, равномощное B, но A и B не равномощны;
    3. |A|<|B|, или B мощнее A — в этом случае B содержит подмножество, равномощное A, но A и B не равномощны.
    • Ситуация, в которой A и B не равномощны и ни в одном из них нет части, равномощной другому, невозможна. Это следует из теоремы Цермело. Иначе это означало бы существование несравнимых между собой мощностей (что в принципе возможно, если не принимать аксиому выбора).
    • Ситуация, в которой |A|>|B| и |A|<|B|, невозможна по теореме Кантора — Бернштейна.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Множество называется конечным, если оно равномощно отрезку натурального ряда I_n = \{1,2,...,n\} при некотором неотрицательном целом n. Число n выражает количество элементов конечного множества. При n=0 множество не содержит элементов (пустое множество). Если n<m, то не существует инъективного отображения из I_m в I_n (принцип Дирихле), а значит, не существует и биекции между ними. Поэтому множества I_m и I_n имеют различную мощность.
  • Множество называется счётным, если оно равномощно множеству всех натуральных чисел \mathbb{N}. Счётными множествами являются:
    • Множество \mathbb{N}\setminus I_k при любом натуральном k. Соответствие: n\rightarrow n+k.
    • Множество \mathbb{N}\cup \{0\}. Соответствие: n\rightarrow n-1.
    • Множество целых чисел \mathbb{Z}. Соответствие получается при сопоставлении членов ряда 0 + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... его частичным суммам (члены ряда берутся без учёта знака).
    • Множество пар натуральных чисел \mathbb{N}\times\mathbb{N}.
    • Множество рациональных чисел \mathbb{Q} инъективно отображается во множество \mathbb{Z}\times\mathbb{N} (несократимой дроби вида p/q соответствует пара чисел (p,q)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}). Поэтому множество рациональных чисел не более, чем счётно. Но так как оно содержит множество натуральных чисел, то оно и не менее, чем счётно. По теореме Кантора-Бернштейна оно счётно.
  • Бесконечные множества, неравномощные множеству \mathbb{N}, называются несчётными. По теореме Кантора несчётным является множество бесконечных последовательностей, составленных из цифр 0 и 1. Мощность этого множества называется континуум.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.
  • Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью своего собственного подмножества, например |{\mathbb N}|=|\mathbb Z|.
    • Более того, множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно содержит равномощное собственное (то есть не совпадающее с основным множеством) подмножество.
  • Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A имеет большую мощность, чем A, или |2^A| > |A|.
  • С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.
  • Мощность декартова произведения:
    |A\times B|=|A|\cdot |B|
  • Формула включения-исключения в простейшем виде:
    |A\cup B|=|A| + |B| - |A\cap B|

Арифметика кардинальных чисел[править | править вики-текст]

Обычные арифметические операции над числами натурального ряда можно обобщить на случай кардинальных чисел. Можно также показать, что в случае конечных кардинальных чисел эти операции совпадают с соответствующим арифметическими действиями над числами. Помимо этого, операции над кардинальными числами сохраняют многие свойства обычных арифметических операций.

Следующее по порядку кардинальное число[править | править вики-текст]

При соблюдении аксиомы выбора для каждого кардинального числа \kappa можно определить следующее за ним число \kappa^+>\kappa, причем между \kappa и \kappa^+ нет других кардинальных чисел. Если \kappa конечно, то следующее кардинальное число совпадает с \kappa+1. В случае бесконечных \kappa следующее кардинальное число отличается от следующего порядкового числа.

Сложение кардинальных чисел[править | править вики-текст]

Если множества X и Y не имеют общих элементов, то сумма мощностей определяется мощностью их объединения. При наличии общих элементов исходные множества можно заменить непересекающимися множествами той же мощности - например, заменить X на X \times \{0\}, а Y на Y \times \{1\}.

Нейтральность нуля относительно сложения:

\kappa + 0 = 0 + \kappa = \kappa

Ассоциативность:

(\kappa + \mu) + \nu = \kappa + (\mu + \nu)

Коммутативность:

\kappa + \mu = \mu + \kappa

Монотонность (неубывание) сложения по обоим аргументам:

\kappa \le \mu \rightarrow \kappa + \nu \le \mu + \nu.
\kappa \le \mu \rightarrow \nu + \kappa \le \nu + \mu.

Сумму двух бесконечных кардинальных чисел можно легко вычислить при соблюдении аксиомы выбора. Если одно из чисел \kappa или \mu бесконечно, то

\kappa + \mu = \max\{\kappa, \mu\}\,.

Вычитание[править | править вики-текст]

При соблюдении аксиомы выбора для любого бесконечного кардинального числа \sigma и произвольного кардинального числа \mu существование \kappa, при котором \mu + \kappa = \sigma, эквивалентно неравенству \mu \le \sigma. Такое \kappa единственно (и совпадает с \sigma) тогда и только тогда, когда \mu < \sigma.

Умножение кардинальных чисел[править | править вики-текст]

Произведение двух кардинальных чисел выражается через декартово произведение множеств: |X| \cdot |Y| = |X \times Y|

Свойства нуля:

\kappa \cdot 0 = 0 \cdot \kappa = 0
\kappa \cdot \mu = 0 \rightarrow \kappa = 0 \or \mu = 0

Нейтральность единицы относительно умножения:

\kappa \cdot 1 = 1 \cdot \kappa = \kappa

Ассоциативность:

(\kappa \cdot \mu) \cdot \nu = \kappa \cdot (\mu \cdot \nu)

Коммутативность:

\kappa \cdot \mu = \mu \cdot \kappa

Монотонность (неубывание) умножения по обоим аргументам:

\kappa \le \mu \rightarrow \kappa \cdot \nu \le \mu \cdot \nu.
\kappa \le \mu \rightarrow \nu \cdot \kappa \le \nu \cdot \mu.

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

\kappa \cdot (\mu + \nu) = \kappa \cdot \mu + \kappa \cdot \nu
(\mu + \nu) \cdot \kappa = \mu \cdot \kappa + \nu \cdot \kappa

По аналогии со сложением произведение двух бесконечных кардинальных чисел можно легко вычислить при соблюдении аксиомы выбора. Если числа \kappa и \mu отличны от нуля и хотя бы одно из них бесконечно, то

\kappa \cdot \mu = \max\{\kappa, \mu\}\,.

Деление[править | править вики-текст]

При соблюдении аксиомы выбора для любой пары кардинальных чисел \pi и \mu, где \pi бесконечно, а \mu не равно нулю, существование \kappa, при котором \mu \cdot \kappa = \pi, эквивалентно неравенству \mu \le \pi. Такое \kappa единственно (и совпадает с \pi) тогда и только тогда, когда \mu < \pi.

Возведение кардинальных чисел в степень[править | править вики-текст]

Возведение в степень определяется следующим образом:

|X|^{|Y|} = |X^Y|,

где X^Y обозначает множество всех функций из Y в X.

\kappa^0 = 1 (в частности, 0^0 = 1), см. Пустая функция
1 \le \mu \rightarrow 0^\mu = 0
1^\mu = 1
\kappa^1 = \kappa
\kappa^{\mu + \nu} = \kappa^\mu \cdot \kappa^\nu
\kappa^{\mu \cdot \nu} = (\kappa^\mu)^\nu
(\kappa \cdot \mu)^\nu = \kappa^\nu \cdot \mu^\nu

Монотонность:

1 \le \nu \and \kappa \le \mu \rightarrow \nu^\kappa \le \nu^\mu
\kappa \le \mu \rightarrow \kappa^\nu \le \mu^\nu

Заметим, что 2^{|X|} представляет собой мощность булеана X и, следовательно, 2^{|X|} > |X| для любого множества X (см. Диагональный метод Кантора). Отсюда следует, что среди кардинальных чисел нет наибольшего (поскольку для любого кардинального числа \kappa можно указать большее число 2^\kappa). В действительности класс всех кардинальных чисел является собственным (хотя в некоторых аксиоматизациях теории множество этого доказать нельзя - к таковым, например, относится система "Новых оснований").

Все последующие утверждения, приведенные в этом разделе, опираются на аксиому выбора.

Если \kappa и \mu - конечные числа, большие 1, а \nu - бесконечное кардинальное число, то \kappa^\nu = \mu^\nu Если кардинальное число \kappa бесконечно, а \mu конечно и отлично от нуля, то \kappa^\mu = \kappa.

Если \kappa \ge 2 и \mu \ge 1, причем хотя бы одно из них бесконечно, то

max\{\kappa, 2^\mu\} \le \kappa^\mu \le max\{2^\kappa, 2^\mu\}.

Используя теорему Кёнига, можно доказать, что для любого бесконечного кардинального числа \kappa выполняются неравенства:

\kappa < \kappa^{cf(\kappa)}
\kappa < cf(2^\kappa),

где cf(\kappa) обозначает конфинальность \kappa.

Извлечение корней[править | править вики-текст]

При условии соблюдения аксиомы выбора для любого бесконечного кардинала \kappa и конечного кардинала \mu > 0 существует кардинальное число \nu, при котором \nu^\mu = \kappa, причем \nu = \kappa.

Логарифмы[править | править вики-текст]

При соблюдении аксиомы выбора кардинальное число \lambda, удовлетворяющее условию \mu^\lambda = \kappa, при заданном бесконечном \kappa и конечном \mu > 1, существует не всегда. Если же такое \lambda существует, то оно бесконечно и меньше \kappa, причем любое конечное кардинальное число \nu > 1 также будет удовлетворять равенству \nu^\lambda = \kappa.

Логарифмом бесконечного кардинального числа \kappa называется наименьшее кардинальное число \mu, удовлетворяющее условию \kappa \le 2^\mu. Несмотря на то, что логарифмы бесконечно больших кардинальных чисел лишены некоторых свойств, характерных для логарифмов положительных вещественных чисел, они оказываются полезными в некоторых областях математики - в частности, при изучении кардинальных инвариантов топологических пространств.

Континуум-гипотеза[править | править вики-текст]

Согласно утверждению континуум-гипотезы, между \aleph_0 и 2^{\aleph_0} не существует других кардинальных чисел. Кардинальное число 2^{\aleph_0} также обозначается \mathfrak{c} и представляет собой мощность континуума (то есть множества вещественных чисел). В данном случае 2^{\aleph_0} = \aleph_1. Обобщенная континуум-гипотеза отрицает существование кардинальных чисел, заключенных строго между |X| и 2^{|X|}, для любого бесконечного множества X. Континуум-гипотеза является независимой от стандартной аксиоматизации теории множеств, то есть системы аксиом Цермело-Френкеля в сочетании с аксиомой выбора (см. Теория множеств Цермело-Френкеля).

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]