Мощность множества

Мощность множества, или кардинальное число множества, — это обобщение понятия количества (числа) элементов множества, которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.

Для мощностей множеств можно ввести отношение частичного порядка, поэтому одно бесконечное множество может быть больше или меньше другого. Среди бесконечных множеств счётное множество является самым маленьким.

Определение

Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности. Класс множеств, биективно эквивалентных данному, не является, однако, множеством (подробнее о классах см. в книге: Келли. Общая топология. (Приложение в конце книги)).

Пример

Множество чётных целых чисел $\mathbb{E}$ имеет такую же мощность, что и множество целых чисел $\mathbb{Z}$. Определим $f:\mathbb{E}\rightarrow\mathbb{Z}$ так: $f(x)=\frac{x}2$.   f — биекция, поэтому $|\mathbb{E}|=|\mathbb{Z}|$

Свойства

• Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.
• Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью своего собственного подмножества, например $|{\mathbb N}|=|\mathbb Z|$.
  • Более того, множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно содержит равномощное собственное (то есть не совпадающее с основным множеством) подмножество.
• Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A мощнее A, или | 2^A | > | A | .
• С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.
• Мощность декартова произведения:

  $|A\times B|=|A|\cdot |B|$

• Формула включения-исключения в простейшем виде:

  $|A\cup B|=|A| + |B| - |A\cap B|$

Связанные определения

Следуя Кантору, мощность множества называется кардинальным числом. Мощность множества A обозначается через | A | (сам Кантор использовал обозначение $\overline{\overline{A}}$). Иногда встречаются обозначения $\# A$ и card(A).

Мощность множества натуральных чисел ${\mathbb N}$ обозначается символом $\aleph_0$ («алеф-нуль»). Множество называется бесконечным, если его мощность $\ge \aleph_0$, таким образом, счётные множества — это «самые маленькие» из бесконечных множеств. Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначаются $\aleph_1, \aleph_2,\dots\aleph_\omega,\aleph_{\omega+1},\dots\aleph_{\omega_1},\dots$ (где индекс пробегает все порядковые числа). Среди кардинальных чисел нет наибольшего: для любого множества кардинальных чисел существует кардинальное число, большее всех элементов этого множества.

Про множества, равномощные множеству всех вещественных чисел, говорят, что они имеют мощность континуума, и мощность таких множеств обозначается символом $\mathfrak{c}$. Предположение о том, что $\mathfrak{c}=\aleph_1$ называется континуум-гипотезой.

Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: равенство, больше, меньше. То есть для любых множеств A и B возможно только одно из трёх:

1. | A | = | B | , или A и B равномощны;
2. | A | > | B | , или A мощнее B, т. е. A содержит подмножество, равномощное B, но A и B не равномощны;
3. | A | < | B | , или B мощнее A, в этом случае B содержит подмножество, равномощное A, но A и B не равномощны.

Ситуация, в которой A и B не равномощны и ни в одном из них нет части, равномощной другому, невозможна. Это следует из теоремы Цермело. Иначе это означало бы существование несравнимых между собой мощностей (что в принципе возможно, если не принимать аксиому выбора).

Ситуация, в которой | A | > | B | и | A | < | B | , невозможна по теореме Кантора — Бернштейна.

См. также

• Порядковое число

Литература

• А. А. Болибрух, Проблемы Гильберта (100 лет спустя), Глава 2 Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза, Библиотека «Математическое просвещение», Выпуск 2
• Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Глава II, § 4.
• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская — М.: Просвещение, 1991. — С. 109-110. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.