Отражающая функция Мироненко

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Отражающая функция — функция, связывающая прошлое состояние системы с её будущим состоянием в симметричный момент времени. Понятие отражающей функции введено Владимиром Ивановичем Мироненко.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть \varphi(t;t_0,x) есть общее решение в форме Коши системы дифференциальных уравнений \dot x=X(t,x), решения которой однозначно определяются своими начальными данными. Отражающая функция этой системы определяется формулой F(t,x)=\varphi(-t;t,x).

Применение[править | править исходный текст]

Для \,2\omega-периодической по переменной t системы дифференциальных уравнений с отражающей функцией \,F(t,x) отображение \,\Pi(x) за период \,[-\omega;\omega] (отображение Пуанкаре) находится по формуле \,\Pi(x)=F(-\omega,x). Поэтому знание отражающей функции позволяет находить начальные данные \,(\omega,x_0) для \,2\omega-периодических решений \varphi(t;-\omega,x_0) рассматриваемой системы и исследовать эти решения на устойчивость по Ляпунову. Отражающая функция \,F(t,x) системы \dot x=X(t,x) удовлетворяет так называемому основному соотношению

\,F_t+F_x X+X(-t,F)=0, \,F(0,x)=x.

С помощью этого соотношения устанавливается, что для многих неинтегрируемых в квадратурах систем дифференциальных уравнений отображение \,\Pi(x) за период \,[-\omega;\omega] может быть найдено даже через элементарные функции. В этом отражающая функция может быть сопоставлена с интегрирующим множителем.

Отражающая функция используется при исследовании вопросов существования и устойчивости периодических решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]