Элементарные функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций[1]:

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

Элементарные функции по Лиувиллю[править | править вики-текст]

Рассматривая функции комплексного переменного, Лиувилль определил элементарные функции несколько шире. Элементарная функция y переменной x — аналитическая функция, которая может быть представлена как алгебраическая функция y=\phi(x,z_1,\dots z_r) от x и функций z_1(x), \dots z_r(x), причём z_1 является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции g_1 от x, z_2 является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции g_2 от x и z_1(x) и так далее.

Например, y=\sin(x) — элементарная функция в этом смысле, поскольку она является алгебраической функцией от показательной функции e^{ix}. Функция y=e^{e^x} тоже является элементарной, поскольку её можно представить в виде:

y=z_2, где z_2=e^{z_1}, \quad z_1=e^{x}.

Не ограничивая общности рассмотрения, можно считать функции z_1, \dots, z_r алгебраически независимы, то есть если алгебраическое уравнение \psi(x,z_1(x), \dots, z_r(x))=0 выполняется для всех x, то все коэффициенты полинома \psi(X,Z_1, \dots Z_r) равны нулю.

Дифференцирование элементарных функций[править | править вики-текст]

Производная элементарной функции всегда является элементарной функцией и может быть найдена за конечное число действий. Именно, по правилу дифференцирования сложной функции

y'(x)=\frac{d}{dx}\phi(x,z_1, \dots, z_r)=\frac{\partial \phi}{\partial x} +\sum \limits_{i=1}^r\frac{\partial \phi}{\partial z_i}\frac{dz_i}{dx},

где z_1'(z) равно или g_1'/g_1 или z_1g_1' в зависимости от того, логарифм ли z_1 или экспонента и т. д. На практике удобно использовать таблицу производных.

Интегрирование элементарных функций[править | править вики-текст]

Интеграл элементарной функции не всегда сам является элементарной функцией. Наиболее распространённые функции, интегралы которых найдены, собраны в таблице интегралов. В общем случае проблема интегрирования элементарных функций решается алгоритмом Риша, основанном на теореме Лиувилля:

Теорема Лиувилля. Если интеграл от элементарной функции y=\phi(x,z_1, \dots z_r) сам является элементарной функцией, то он представим в виде

\int \phi(x,z_1(x), \dots, z_r(x))\,dx= \sum \limits_i A_i \ln (\psi_i(x,z_1, \dots z_r)) + \psi_0(x,z_1, \dots, z_r) + C,

где A_i — некоторые комплексные числа, а \psi_i — алгебраические функции своих аргументов.

Доказательство этой теоремы Лиувилль основал на следующем принципе. Если интеграл от y берётся в элементарных функциях, то верно

\int \phi(x, z_1(x), \dots z_r(x))\,dx =\psi(x, z_1(x), \dots z_s(x)) + \operatorname{const}

где \psi — алгебраическая функция, z_{r+1} — логарифм или экспонента алгебраической функции x,z_1, \dots z_r и т. д. Функции z_1, \dots z_s являются алгебраически независимыми и удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений вида

z_1'=\rho_1(x,z_1, \dots, z_s), \dots

где \rho_i — алгебраические функции своих аргументов. Если z_1=z_1(x,C), \dots — семейство решений этой системы, то

\int \phi(x, z_1(x,C), \dots)\,dx =   \psi(x, z_1(x, C), \dots z_s(x, C)) +\operatorname{const}

откуда

\psi(x, z_1(x), \dots) =   \psi(x, z_1(x, C), \dots z_s(x, C)) +f(C)

Для некоторых классов интегралов эта теорема позволяет весьма просто исследовать разрешимость в элементарных функциях задачи об интегрировании.

Интегрирование функций вида p(x)e^{q(x)}[править | править вики-текст]

Следствие теоремы Лиувилля (См. Ритт, с. 47 и сл.). Если интеграл

\int p(x)e^{q(x)}\,dx,

где p,q — полиномы, берётся в элементарных функциях, то

\int p(x)e^{q(x)}\,dx= r(x) e^{q(x)},

где r(x) — тоже некоторый полином, удовлетворяющий дифференциальному уравнению

 r'+ q'(x) r= p(x)

Пример. В частности, интеграл

\int e^{x^2}\,dx

не берётся, поскольку подстановка

r=Ax^n+\dots \quad (A\not =0)

в уравнение

 r'+ 2x r= 1

даёт A=0. Интеграл же

\int xe^{x^2}\,dx

берётся, поскольку

 r'+ 2x r= x

имеет решение r=1/2. При этом, конечно,

\int xe^{x^2}\,dx=\frac{e^{x^2}}{2}+ \operatorname{const}

Доказательство следствия. В силу теоремы Лиувилля

\int p(x)e^{q(x)}\,dx= \psi_0(x, e^{q(x)}) + \sum A_i\ln \psi_i(x,e^{q(x)})+ \operatorname{const}

Тогда в силу принципа Лиувилля при произвольной константе C верно

\int p(x)C e^{q(x)}\,dx= \psi_0(x, Ce^{q(x)}) +\sum A_i\ln \psi_i(x,Ce^{q(x)})+ f(C)

Дифференцируя по C и полагая C=1, видим, что интеграл выражается алгебраически через x,e^{q(x)}, то есть

\int p(x)e^{q(x)}\,dx= \psi(x,e^{q(x)}).

Опять применяя принцип Лиувилля, имеем

C\psi(x,e^{q(x)})= \psi(x,Ce^{q(x)}) + f(C).

Дифференцируя по C и полагая C=1, имеем

\psi(x,z) = z \frac{\partial \psi(x,z)}{\partial z} + B \quad (B=\operatorname{const})

при z=e^{q(x)}, а следовательно, в силу алгебраической независимости x, e^{q(x)}, при всех x,z. Поэтому

\psi(x,z)= -B + z r(x),

где r — некоторая алгебраическая функция x. Таким образом,

\int p(x)e^{q(x)}\,dx = r(x)e^{q(x)} + \operatorname{const},

Коль скоро сам интеграл заведомо является целой функцией x, то r — полином. Следствие доказано.

Интегрирование алгебраических функций[править | править вики-текст]

Наиболее сложным оказался вопрос об интегрировании в элементарных функциях функций алгебраических, то есть о взятии абелевых интегралов, которому посвящены обширные исследования Вейерштрасса, Пташицкого[2] и Риша[3].

Теорема Лиувилля является основой для создания алгоритмов символьного интегрирования элементарных функций, реализуемых, напр., в Maple.

См. также: Список интегралов элементарных функций

Вычисление пределов[править | править вики-текст]

Теория Лиувилля не распространяется на вычисление пределов. Неизвестно, существует ли алгоритм, который по заданной элементарной формулой последовательности даёт ответ, имеет ли она предел или нет. Например, открыт вопрос о том, сходится ли последовательность \frac{1}{n^3 \sin n}.[4]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Элементарная математика, 1976, с. 113—114.
  2. Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Art. 2 B 2 (W. Wirtinger, 1901 г.)
  3. Дэвенпорт Дж. Интегрирование алгебраических функций. Гл. 4. М., «Мир», 1985
  4. Q&A

Литература[править | править вики-текст]