Парадокс Кантора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Парадо́кс Ка́нтора — парадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

Формулировка[править | править вики-текст]

Предположим, что множество всех множеств V = \{x \mid x = x\} существует. В этом случае справедливо \forall x \forall t (x \in t \rightarrow x \in V), то есть всякое множество t является подмножеством V. Но из этого следует \forall t\; |t| \leqslant |V| — мощность любого множества не превосходит мощности V.

Но в силу аксиомы множества всех подмножеств, для V, как и любого множества, существует множество всех подмножеств \mathcal  P(V), и по теореме Кантора |\mathcal P (V)| = 2^{|V|} > |V|, что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, V не может существовать, что вступает в противоречие с «наивной» гипотезой о том, что любое синтаксически корректное логическое условие определяет множество, то есть что \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow A) для любой формулы A, не содержащей y свободно.

Другая формулировка[править | править вики-текст]

Не существует максимального кардинального числа. В самом деле: пусть оно существует и равно \mu. Тогда по теореме Кантора 2^\mu > \mu.

Выводы[править | править вики-текст]

Этот парадокс, открытый Кантором около 1899 года, обнаружил необходимость пересмотра «наивной теории множеств» (парадокс Рассела был открыт несколько позднее, около 1901 года) и стимулировал разработку строгой аксиоматики теории множеств. Схема аксиом \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow A) отвергнута как противоречивая, вместо этого была разработана система ограничений на вид условия, задаваемого формулой A.

См. также[править | править вики-текст]