Перестройка Морса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Хирургия или перестройка Морса — преобразование гладких многообразий, которому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку; важнейшая конструкция в дифференциальной топологии.

Важная роль хирургии в топологии многообразий объясняется тем, что они позволяют «деликатно» (не нарушая тех или иных свойств многообразия) уничтожать «лишние» гомотопические группы (обычно используемая с этой целью в теории гомотопий операция «приклеивания клетки» мгновенно выводит из класса многообразий). Практически все теоремы классификации структур на многообразиях основываются на изучении вопроса, когда для отображения f:M \to X замкнутого многообразия M в клеточное пространство X существуют такой бордизм (W; M, N) и такое отображение F:W \to X, что F|_M=f, а F|_N :\to X является гомотопической эквивалентностью. Естественный путь решения этой задачи состоит в том, чтобы последовательностью хирургий уничтожить ядра гомоморфизмов f^*:\pi_k(M)\to \pi_k(X) (где \pi_kгомотопические группы). Если это удаётся, то результирующее отображение будет гомотопической эквивалентностью. Изучение соответствующих препятствий (лежащих в т. н. группах Уолла) явилось одним из главнейших стимулов в развитии алгебраической L-теории.

Конструкция[править | править исходный текст]

Пусть V — гладкое n-мерное многообразие (без края), в которое (гладко) вложена (k-1)-мерная сфера S^{k-1}. Предположим, что нормальное расслоение сферы S^{k-1} в многообразии V тривиально, то есть что замкнутая трубчатая окрестность T сферы S^{k-1} в V разлагается в прямое произведение T=S^{k-1}\times D^{n-k+1}, где D^{n-k+1} — диск размерности n-k+1. Выбрав такое разложение, вырежем из V внутренность окрестности T. Получится многообразие, край которого разложен в произведение S^{k-1}\times S^{n-k} сфер. Точно такой же край имеет многообразие D^{k}\times S^{n-k}. Отождествив края этих многообразий по диффеоморфизму, сохраняющему структуру прямого произведения снова получим многообразие V' без края, которое и называется результатом хирургии многообразия V вдоль сферы S^{k-1}.

Для осуществления хирургии необходимо задать разложение окрестности T сферы S^{k-1} в прямое произведение, то есть тривиализацию нормального расслоения сферы S^{k-1} в многообразии V, при этом разные тривиализации (оснащения) могут давать существенно различные (даже гомотопически) многообразия V'.

Число k называется индексом хирургии, а пара (k, n-k+1) её типом. Если V' получается из V хирургией типа (i, j), то V получается из V' хирургией типа (j,i). При k=0 многообразие V' является дизъюнктным объединением многообразия V (которое может быть в этом случае пустым) и сферы S^n.

Примеры[править | править исходный текст]

  • При V=S^2 и k=2 в результате хирургии получается дизъюнктное объединение двух сфер, а при k=1 — тор.
  • При V= S^3 и k= 2 получается произведение S^1\times S^2.
  • Случай V=S^3 и k=1 сложнее: если сфера S^1 вложена в S^3 стандартным образом (большая окружность), то в зависимости от выбора её тривиализации нормального расслоения получаются линзовые пространства; если же допустить заузливание сферы S^1, то получается ещё больший набор трёхмерных многообразий.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Если V является краем (n+1)-мерного многообразия M, то V' будет краем многообразия M', полученного из M приклеиванием ручки индекса k.
    • В частности, если f — гладкая функция на многообразии M и a<b — такие числа, что множество f^{-1}([a,b]) компактно и содержит единственную критическую точку p, которая невырождена, то многообразие V_b=f^{-1}(b) получается из многообразия V_a=f^{-1}(a) хирургией индекса k, где k — индекс Морса критической точки p.
    • Более общим образом, любая перестройка V' многообразия V индекса k определяет некоторый бордизм (W; V, V'), и на триаде (W; V, V') существует
  • функция Морса, обладающая единственной критической точкой индекса k, причем любой бордизм (W; V, V'), на котором существует такого рода функция Морса, получается этим способом.
    • Отсюда (и из существования на триадах функций Морса) следует, что два многообразия тогда и только тогда бордантны, когда одно из них получается из другого конечной последовательностью хирургий.
  • При известных предосторожностях в обращении с ориентациями результат хирургии ориентированного многообразия будет снова ориентированным многообразием.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

  • Конструкция хирургии может быть проведена также для кусочно линейных и топологических многообразий.