Фундаментальная последовательность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Последовательность точек $(x_n)_{n=1}^\infty$ метрического пространства с метрикой $ρ$ называется фундаментальной ( $ρ$ -фундаментальной) или последовательностью Коши, если она удовлетворяет критерию Коши:

Для любого $\varepsilon > 0$ существует такое натуральное $N_\varepsilon$ , что

$\rho(x_{n}, x_{m}) < \varepsilon\$ для всех $n, m > N_\varepsilon$ .

Содержание

1 Связанные определения
2 Свойства
3 Эквивалентность в полном пространстве
- 3.1 Фундаментальная последовательность сходится
- 3.2 Сходящаяся последовательность фундаментальна (условие Коши)

[править] Связанные определения

Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится.
Для любого метрического пространства $X = (X,ρ)$ , на множестве фундаментальных последовательностей в $X$ можно ввести отношение эквивалентности
$(x_n)\sim(y_n)\Leftrightarrow \lim\rho(x_{n}, y_n)=0$ .
Множество классов эквивалентности $\bar X$ с метрикой, определённой
$\bar \rho((x_n),(y_n))= \lim\rho(x_{n}, y_n)$ ,
является метрическим пространством, называемым пополнением $X$ . Само пространство $(X,ρ)$ изометрически вкладывается в своё пополнение $(\bar X,\bar \rho)$ , точке $x\in X$ соответсвует постоянная последователность $x n = x$ .

[править] Свойства

Любая сходящаяся последовательность является фундаментальной (условие Коши).

[править] Эквивалентность в полном пространстве

Множество вещественных чисел $\mathbb{R}$ (или вообще пространство $\mathbb{R}$ ) является полным, поэтому в нём условия сходимости и фундаментальности последовательности эквивалентны.

[править] Фундаментальная последовательность сходится

Пусть некая последовательность $(x n)$ удовлетворяет критерию Коши. Тогда она, очевидно, ограничена. Следовательно, по теореме Больцано — Вейерштрасса у неё существует предельная точка. Чтобы доказать существование (конечного) предела, необходимо доказать единственность предельной точки. Пусть их существует две — $a 1$ и $a 2$ . Тогда возьмём $\varepsilon = \frac{1}{3} |a_1-a_2|$ . Начиная с некоторого n, все элементы последовательности должны будут находиться в одной из $\varepsilon$ -окрестностей предельных точек (каждая точка при $n > N$ будет находиться либо в одной, либо в другой окрестности), а значит, на расстоянии больше чем $\varepsilon$ друг от друга, что противоречит критерию Коши.

[править] Сходящаяся последовательность фундаментальна (условие Коши)

Пусть теперь, наоборот, последовательность сходится. Тогда, начиная с некоторого $N$ , $|x_n-a| < \varepsilon$ и $|x_m-a| < \varepsilon$ , а стало быть, $|x_m - x_n| = |(x_m - a) - (x_n - a)|\leq |(x_m - a)| + |(x_n - a)| < 2\varepsilon$ , а значит, последовательность по определению фундаментальна.