Полное по Чеху пространство

Для термина «Полное пространство» см. также другие значения.

Полное по Чеху пространство — топологическое пространство, являющееся G-дельта-множеством (то есть пересечением счётного семейства открытых множеств) в некотором объемлющем хаусдорфовом компакте.

Эквивалентные определения

Через объемлющие компакты

Тихоновское пространство $X$ называется полным по Чеху, если выполнено одно из следующих эквивалентных утверждений:

• пространство $X$ является множеством типа $G_{\delta }$ в некотором объемлющем компакте;
• пространство $X$ является множеством типа $G_{\delta }$ в некоторой своей компактификации $cX$;
• пространство $X$ является множеством типа $G_{\delta }$ в каждой своей компактификации $cX$;
• пространство $X$ является множеством типа $G_{\delta }$ в компактификации Стоуна — Чеха $\beta X$;
• нарост некоторой компактификации $cX\setminus c(X)$ является множеством типа $F_{\sigma }$ в $cX$;
• нарост каждой компактификации $cX\setminus c(X)$ является множеством типа $F_{\sigma }$ в $cX$;
• нарост компактификации Чеха-Стоуна $\beta X\setminus \beta (X)$ является множеством типа $F_{\sigma }$ в $\beta X$.

Внутренняя характеристика

Тихоновское пространство $X$ является полным по Чеху, тогда и только тогда, когда в нём существует счётное семейство открытых покрытий $\{{\mathfrak {U}}_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$, такое, что пересечение любой центрированной системы замкнутых множеств ${\mathfrak {F}}$, в которой для каждого $n\in N$ существует множество $F\in {\mathfrak {F}}$ с диаметром, меньшим, чем покрытие ${\mathfrak {U}}_{n}$, непусто (говорят, что диаметр множества $F$, меньше покрытия ${\mathfrak {U}}_{n}$, если существует $U$ из ${\mathfrak {U}}_{n}$, такое, что $F\subset U$).

Сохранение полноты по Чеху при операциях

Подпространство $A$ полного по Чеху пространства $X$ является полным по Чеху в том и только том случае, когда оно представимо в виде пересечения $F\cap M$ замкнутого множества $F$ и множества типа $G_{\delta }$. В частности, полнота по Чеху наследуется замкнутыми множествами и множествами типа $G_{\delta }$.

Сумма семейства топологических пространств полна по Чеху тогда и только тогда, когда все пространства из этого семейства полны по Чеху.

Произведение счётного семейства топологических пространств является полным по Чеху, в том и только том случае, когда все пространства полны по Чеху. При этом произведение несчётного семейства полных по Чеху пространств может не быть полным по Чеху.

Если существует совершенное отображение между тихоновскими пространствами $X$ и $Y$, то пространство $X$ полно по Чеху тогда и только тогда, когда полно по Чеху пространство $Y$. Однако полнота по Чеху в общем случае не сохраняется при переходе к образу при открытом и замкнутом непрерывном отображении.

Связь с другими классами пространств

Более узкие классы

Все локально компактные пространства (в частности все компактные пространства) являются полными по Чеху.

Метризуемое пространство полно по Чеху тогда и только тогда, когда оно метризуемо полной метрикой.

Более широкие классы

Каждое полное по Чеху пространство является k-пространством и является пространством Бэра.

Литература

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.