Полное метрическое пространство

Полное метрическое пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу того же пространства).

В большинстве случаев рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

Пополнение

Всякое метрическое пространство $X=(X,\rho )$ можно вложить в полное пространство $Y$ таким образом, что метрика $Y$ продолжает метрику $X$, а подпространство $X$ всюду плотно в $Y$. Такое пространство $Y$ называется пополнением $X$ и обычно обозначается ${\bar {X}}$.

Построение

Для метрического пространства $X=(X,\rho )$, на множестве фундаментальных последовательностей в $X$ можно ввести отношение эквивалентности

$(x_{n})\sim (y_{n})\Leftrightarrow \lim \rho (x_{n},y_{n})=0.$

Множество классов эквивалентности ${\bar {X}}$ с метрикой, определённой

${\bar {\rho }}((x_{n}),(y_{n}))=\lim \rho (x_{n},y_{n}),$

является метрическим пространством. Само пространство $(X,\rho )$ изометрически вкладывается в него следующим образом: точке $x\in X$ соответствует класс постоянной последовательности $x_{n}=x$. Получившееся пространство $({\bar {X}},{\bar {\rho }})$ и будет пополнением $X$.

Свойства

• Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
• Пополнение метрического $M$ пространства изометрично замыканию образа при вложении Куратовского
• Полнота наследуется замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
• Полные метрические пространства являются пространствами второй категории Бэра. То есть если полное пространство исчерпывается счётным объединением замкнутых множеств, то хотя бы у одного из них есть внутренние точки.
• Метрическое пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено; то есть, для любого $\varepsilon >0$ пространство $X$ можно покрыть конечным числом шаров радиуса $\varepsilon$.
• Теорема Банаха о неподвижной точке. Сжимающие отображения полного метрического пространства в себя имеют неподвижную точку.
• Полнота метрического пространства не является топологическим свойством. То есть полное метрическое пространство может оказаться не полным при замене метрики на эквивалентную, то есть метрику, порождающую ту же топологию, что и исходная метрика.
  • Топологическим свойством является наличие хотя бы одной полной метрики в классе метрик, порождающих топологию метрического пространства (так называемая метрическая топологическая полнота или метризуемость полной метрикой).

Примеры

Полные метрические пространства

• Множество вещественных (действительных) чисел $\mathbb {R}$ полно в стандартной метрике $d(x,y)=|x-y|$ — естественная метрика на числовой оси.
• Множество $\mathbb {R} ^{n}$ с заданной на нём метрикой $d_{2}(x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left(x-y\right)}^{2}}}$ — евклидова метрика (или ${l}_{2}$-метрика);
• Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно.
• Свойство полноты является обязательным в определении банахова пространства, в частности гильбертова пространства.
• Пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой является полным метрическим пространством, а потому является банаховым, если рассматривать его как нормированное линейное пространство.

Неполные метрические пространства

• Рациональные числа $\mathbb {Q}$ со стандартным расстоянием $d(x,y)=|x-y|$ являются неполным метрическим пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел $\mathbb {R}$.
• Также, рациональные числа могут быть снабжены p-адическим нормированием, пополнение по которому приводит к полю p-адических чисел $\mathbb {Q} _{p}$.
• Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций в интегральной метрике $d(f,g)=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx$. Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.

Вариации и обобщения

• Если $X$ имеет алгебраическую структуру, согласованную с метрикой, например топологического кольца, то эта структура естественным образом переносится и на его пополнение.

Литература

• Зорич В.А. Математический анализ. — Т. 2. IX, §5.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.