Правило произведения

Геометрическая иллюстрация доказательства правила произведения

Правило произведения, или тождество Лейбница, — характерное свойство дифференциальных операторов.

Запись этого правила для дифференциала выглядит следующим образом: $d(u\cdot v)=v\ du+u\ dv$, а для производной следующим: $(uv)'=u'v+uv'$.

Открытие

Открытие этого правила приписывается Готфриду Лейбницу, который продемонстрировал его с помощью дифференциалов.

Вот аргумент Лейбница: пусть $u(x)$ и $v(x)$ - две дифференцируемые функции от $x$. Тогда дифференциал от $uv$ равен:

$d(u\cdot v)=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v$ $=u\ dv+v\ du+du\ dv$

Поскольку произведение $du\ dv$ несоизмеримо меньше чем $du$ или $dv$, Лейбниц пришел к выводу, что:

$d(u\cdot v)=v\ du+u\ dv$

и это - дифференциальная форма правила произведения. Если мы разделим обе части на дифференциал $dx$, то получим:

${\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}$

Формула также может быть записана в нотации Лагранжа:

$(u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.$

Вариации и обобщения

Многократная производная

Для $n$-ой производной существует обобщённая формула Лейбница:

$\left(f\cdot g\right)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},$ где $C_{n}^{k}$ — биномиальные коэффициенты.

Градуированная алгебра

Операция $\delta _{l}\colon \oplus _{k}\Omega ^{k}\to \oplus _{k}\Omega ^{k+l}$ на градуированной алгебре $\Omega =\oplus _{k}\Omega ^{k}$ удовлетворяет градуированному тождеству Лейбница, если для любых $K\in \Omega ^{k}$, $F\in \Omega$

$\delta _{l}(K\wedge F)=\delta _{l}(K)\wedge F+(-1)^{kl}K\wedge \delta _{l}(F)$

где $\wedge$ — умножение в $\Omega$. Большинство дифференцирований на алгебре дифференциальных форм удовлетворяют этому тождеству.

Ассоциативная алгебра

В ассоциативной алгебре верно следующее тождество: $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C].$ Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора $D_{A}=[A,\cdot ].$ По этой причине оператор $D_{A}$ называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор ${\tilde {D}}_{A}=[\cdot ,A].$

Как следствие, $[A,B_{1}B_{2}\dots B_{n}]=[A,B_{1}]B_{2}\dots B_{n}+$ $B_{1}[A,B_{2}]\dots B_{n}+\dots +B_{1}B_{2}\dots [A,B_{n}]$

См также

• Правило умножения (комбинаторика)