Принцип симметрии Шварца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формулировка[править | править исходный текст]

Принцип симметрии в основном применяется для аналитического продолжения функций, которые аналитичны на некотором множестве G\subset\mathbb C. Далее, пусть множество F=\partial G\cap\mathbb R непусто, и на этом множестве функция принимает исключительно вещественные значения.

Тогда можно осуществить аналитическое продолжение функции f с множества G на большее множество G\cup\overline{G}, где \overline{G}=\{z:\overline{z}\in G\}, с помощью следующей функции:

F(z)=f(z) при z\in G
F(z)=\overline{f(\overline{z})} при z\in\overline{G}

Пользуясь принципом соответствия границ, можно доказать более общее утверждение, которое обычно фигурирует в специальной литературе под тем же названием.

Обобщение[править | править исходный текст]

Допустим, что заданы области G_1,G_2\subset\mathbb C, далее, \gamma_1\subset G_1,\gamma_2\subset G_2 — дуги окружностей. Обозначим через G_1^* область, которая симметрична G_1 относительно \gamma_1, аналогично определяется G_2^*. Теперь, если f конформно отображает G_1 на G_2, притом f(\gamma_1)=\gamma_2, тогда f может быть аналитически продолжена до конформного отображения G_1\cup\gamma_1\cup G_1^* на G_2\cup\gamma_2\cup G_2^*.

Литература[править | править исходный текст]

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.