Производящая функция моментов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть есть случайная величина X с распределением \mathbb{P}^X. Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид:

M_X(t) = \mathbb{E}\left[e^{tX}\right].

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:

M_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\, \mathbb{P}^X(dx),

то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа распределения случайной величины (с точностью до отражения).

Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины[править | править вики-текст]

Если случайная величина X дискретна, то есть \mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots, то

M_X(t) = \sum_{i=1}^{\infty} e^{tx_i}\, p_i.

Пример. Пусть X имеет распределение Бернулли. Тогда

M_X(t) = e^{t \cdot 1} \cdot p + e^{t \cdot 0} \cdot q = p e^{t} + q.

Если случайная величина X абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность f_X(x), то

M_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\, f_X(x)\, dx.

Пример. Пусть X \sim U[0,1] имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

M_X(t) = \int\limits_{0}^{1} e^{tx} \cdot 1\, dx = \left.\frac{e^{tx}}{t}\right\vert_0^1 = \frac{e^{t}-1}{t}.

Свойства производящих функций моментов[править | править вики-текст]

Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.

  • Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть X,Y суть две случайные величины, и M_X(t) = M_Y(t),\; \forall t. Тогда \mathbb{P}^X = \mathbb{P}^Y. В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение функций вероятности.
  • Производящая функция моментов как функция случайной величины однородна:
M_{aX}(t) = M_X(at),\; \forall a \in \mathbb{R}.
  • Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть X_1,\ldots, X_n суть независимые случайные величины. Обозначим S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i. Тогда
M_{S_n}(t) = \prod\limits_{i=1}^n M_{X_i}(t).

Вычисление моментов[править | править вики-текст]

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \left. \frac{d^n}{dt^n}M_X(t)\right\vert_{t=0}.

См. также[править | править вики-текст]