Распределение Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

**Распределение Бернулли**
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры	$p\in(0,1)\,$ $q\equiv 1-p\,$
Носитель	$k=\{0,1\}\,$
Функция вероятности	$\begin{matrix} q & k=0 \\p~~ & k=1 \end{matrix}$
Функция распределения	$\begin{matrix} 0 & k<0 \\q & 0<k<1\\1 & k>1 \end{matrix}$
Математическое ожидание	$p\,$
Медиана
Мода	$\textrm{max}(p,q)\,$
Дисперсия	$pq\,$
Коэффициент асимметрии	$\frac{q-p}{\sqrt{pq}}$
Коэффициент эксцесса	$\frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}$
Информационная энтропия	$-q\ln q-p\ln p \,$
Производящая функция моментов	$q+pe^t\,$
Характеристическая функция	$q+pe^{it}\,$

Распределе́ние Берну́лли моделирует случайный эксперимент произвольной природы, когда заранее известна вероятность успеха или неудачи.

[править] Определение

Случайная величина $X$ имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: $1$ и $0$ с вероятностями $p$ и $q\equiv 1-p$ соответственно. Таким образом:

$\mathbb{P}(X=1) = p$ ,

$\mathbb{P}(X=0) = q$ .

Принято говорить, что событие ${X = 1}$ соответствует «успеху», а ${X = 0}$ «неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могут быть заменены на противоположные.

[править] Моменты распределения Бернулли

$\mathbb{E}[X] = p$ ,

$\operatorname{D}[X] = pq$ .

Вообще, легко видеть, что

$\mathbb{E}\left[X^n\right] = p,\; \forall n \in \mathbb{N}$ .

[править] Замечание

Если $X_1,\ldots ,X_n$ суть независимые случайные величины имеющие распределение Бернулли с вероятностью успеха $p$ , то

$Y = \sum\limits_{i=1}^nX_i$

имеет биномиальное распределение с $n$ степенями свободы.

[править] См. также

	Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| Колмогорова \| Коши \| Лапласа \| логнормальное \| Лоренца \| нормальное (Гаусса) \| равномерное \| Парето \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| Эрланга	многомерное нормальное