Распределение Бернулли

Распределение Бернулли

Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение
Параметры	$p\in(0,1)\,$ $q\equiv 1-p\,$
Носитель	$k=\{0,1\}\,$
Функция вероятности	$\begin{matrix} q & k=0 \\p~~ & k=1 \end{matrix}$
Функция распределения	$\begin{matrix} 0 & k<0 \\q & 0\leq k<1\\1 & k\geq 1 \end{matrix}$
Математическое ожидание	$p\,$
Медиана
Мода	$\begin{cases} 0, & q > p\\ 0, 1, & q=p\\ 1, & q < p \end{cases}$
Дисперсия	$pq\,$
Коэффициент асимметрии	$\frac{q-p}{\sqrt{pq}}$
Коэффициент эксцесса	$\frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}$
Информационная энтропия	$-q\ln q-p\ln p \,$
Производящая функция моментов	$q+pe^t\,$
Характеристическая функция	$q+pe^{it}\,$

Распределе́ние Берну́лли в теории вероятностей и математической статистике — дискретное распределение вероятностей, моделирующее случайный эксперимент произвольной природы, когда заранее известна вероятность успеха или неудачи.

Определение

Случайная величина $X$ имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: $1$ и $0$ с вероятностями $p$ и $q\equiv 1-p$ соответственно. Таким образом:

$\mathbb{P}(X=1) = p$,

$\mathbb{P}(X=0) = q$.

Принято говорить, что событие $\{X=1\}$ соответствует «успеху», а $\{X=0\}$ «неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могут быть заменены на противоположные.

Моменты распределения Бернулли

$\mathbb{E}[X] = p$,

$\operatorname{D}[X] = pq$.

Вообще, легко видеть, что

$\mathbb{E}\left[X^n\right] = p,\; \forall n \in \mathbb{N}$.

Замечание

Если $X_1,\ldots ,X_n$ суть независимые случайные величины имеющие распределение Бернулли с вероятностью успеха $p$, то

$Y = \sum\limits_{i=1}^nX_i$

имеет биномиальное распределение с $n$ степенями свободы.

См. также

• Задача о разорении игрока#Схема Бернулли.