Распределение Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Распределение Бернулли
Функция вероятности
плотность вероятности
Функция распределения
функния распределения
Обозначение
Параметры p\in(0,1)\,
q\equiv 1-p\,
Носитель k=\{0,1\}\,
Функция вероятности 
    \begin{matrix}
    q & k=0 \\p~~ & k=1
    \end{matrix}
Функция распределения 
    \begin{matrix}
    0 & k<0 \\q & 0\leq k<1\\1 & k\geq 1
    \end{matrix}
Математическое ожидание p\,
Медиана
Мода \begin{cases}
0, &  q > p\\
0, 1, & q=p\\
1, & q < p
\end{cases}
Дисперсия pq\,
Коэффициент асимметрии \frac{q-p}{\sqrt{pq}}
Коэффициент эксцесса \frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}
Информационная энтропия -q\ln q-p\ln p \,
Производящая функция моментов q+pe^t\,
Характеристическая функция q+pe^{it}\,


Распределе́ние Берну́лли в теории вероятностей и математической статистикедискретное распределение вероятностей, моделирующее случайный эксперимент произвольной природы, когда заранее известна вероятность успеха или неудачи.

Определение[править | править исходный текст]

Случайная величина X имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: 1 и 0 с вероятностями p и q\equiv 1-p соответственно. Таким образом:

\mathbb{P}(X=1) = p,
\mathbb{P}(X=0) = q.

Принято говорить, что событие \{X=1\} соответствует «успеху», а \{X=0\} «неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могут быть заменены на противоположные.

Моменты распределения Бернулли[править | править исходный текст]

\mathbb{E}[X] = p,
\operatorname{D}[X] = pq.

Вообще, легко видеть, что

\mathbb{E}\left[X^n\right] = p,\; \forall n \in \mathbb{N}.

Замечание[править | править исходный текст]

Если X_1,\ldots ,X_n суть независимые случайные величины, имеющие распределение Бернулли с вероятностью успеха p, то

Y = \sum\limits_{i=1}^nX_i

имеет биномиальное распределение с n степенями свободы.

См. также[править | править исходный текст]


Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma многомерное нормальное | копула