Непрерывное равномерное распределение

Непрерывное равномерное распределение

Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	$\mathcal{U}(a, b)$
Параметры	$a,b \in (-\infty,\infty)$, $a\!$ — коэффициент сдвига, $b-a\!$ — коэффициент масштаба
Носитель	$a \le x \le b$
Плотность вероятности	$\begin{matrix} \frac{1}{b - a} & a \le x \le b \\ \\ 0 & \ x<a\ ,\ x>b \end{matrix}$
Функция распределения	$\begin{matrix} 0 & x < a \\ \frac{x-a}{b-a} & ~~~~~ a \le x < b \\ 1 & x \ge b \end{matrix}$
Математическое ожидание	$\frac{a+b}{2}$
Медиана	$\frac{a+b}{2}$
Мода	любое число из отрезка $[a,b]\!$
Дисперсия	$\frac{(b-a)^2}{12}$
Коэффициент асимметрии	$0\!$
Коэффициент эксцесса	$-\frac{6}{5}$
Информационная энтропия	$\ln(b-a)\!$
Производящая функция моментов	$\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}$
Характеристическая функция	$\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}$

Непреры́вное равноме́рное распределе́ние — в теории вероятностей - распределение случайной вещественной величины, принимающей значения, принадлежащие интервалу [a, b], характеризующееся тем, что плотность вероятности на этом интервале постоянна.

Определение

Говорят, что случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке $[a,b]\!$, где $a,b\in \R$, если её плотность $f_X(x)\!$ имеет вид:

$f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} {1 \over b-a}, & x\in [a,b] \\ 0, & x\not\in [a,b] \end{matrix} \right..$

Пишут: $X \sim U[a,b]$. Иногда значения плотности в граничных точках $x=a\!$ и $x=b\!$ меняют на другие, например $0\!$ или $\frac{1}{2(b-a)}\!$. Так как интеграл Лебега от плотности не зависит от поведения последней на множествах меры нуль, эти вариации не влияют на вычисления связанных с этим распределением вероятностей.

Функция распределения

Интегрируя определённую выше плотность, получаем:

$F_X(x) \equiv \mathbb{P}(X \le x) = \left\{ \begin{matrix} 0, & x < a \\ {x-a \over b-a}, & a \leq x < b \\ 1, & x \ge b \end{matrix} \right..$

Так как плотность равномерного распределения разрывна в граничных точках отрезка $[a,b]\!$, то функция распределения в этих точках не является дифференцируемой. В остальных точках справедливо стандартное равенство:

$\frac{d}{dx} F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \R \setminus \{a,b\}$.

Производящая функция моментов

Простым интегрированием получаем производящую функцию моментов:

$M_X(t) = \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)}$,

откуда находим все интересующие моменты непрерывного равномерного распределения:

$\mathbb{E}\left[X\right] = \frac{a+b}{2}$,

$\mathbb{E}\left[X^2\right] = \frac{a^2+ab+b^2}{3}$,

$\operatorname{D}\left[X\right] = \frac{(b-a)^2}{12}$.

Вообще,

$\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n{a^k b^{n-k}}=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{(b-a)(n+1)}$.

Стандартное равномерное распределение

Если $a = 0\!$ и $b=1\!$, то есть $X \sim U[0,1]$, то такое непрерывное равномерное распределение называют стандартным.

Имеет место элементарное утверждение:

Если случайная величина $X \sim U[0,1]$ и $Y = a+(b-a)X\!$, то $Y \sim U[\min(a,b),\max(a,b)]\!$.

Таким образом, имея генератор случайной выборки из стандартного непрерывного равномерного распределения, легко построить генератор выборки любого непрерывного равномерного распределения.

Более того, имея такой генератор и зная функцию обратную к функции распределения случайной величины, можно построить генератор выборки любого непрерывного распределения (не обязательно равномерного) с помощью метода обратного преобразования. Поэтому стандартно равномерно распределённые случайные величины иногда называют базовыми случайными величинами.

См. также

• Дискретное равномерное распределение;
• Метод обратного преобразования.

Ссылки

• Онлайн калькулятор - Непрерывное равномерное распределение