Непрерывное равномерное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Непрерывное равномерное распределение
Плотность вероятности
Плотность непрерывного равномерного распределения
Функция распределения
Функция распределения непрерывного равномерного распределения
Обозначение \mathcal{U}(a, b), Rav(a, b)
Параметры a,b \in (-\infty,\infty), a\!коэффициент сдвига, b-a\!коэффициент масштаба
Носитель a \le x \le b
Плотность вероятности 
    \begin{matrix}
    \frac{1}{b - a} & a \le x \le b \\  \\
    0 & \ x<a\ ,\ x>b
    \end{matrix}
Функция распределения 
    \begin{matrix}
    0 & x < a \\
    \frac{x-a}{b-a} & ~~~~~ a \le x < b \\
    1 & x \ge b
    \end{matrix}
Математическое ожидание \frac{a+b}{2}
Медиана \frac{a+b}{2}
Мода любое число из отрезка [a,b]\!
Дисперсия \frac{(b-a)^2}{12}
Коэффициент асимметрии 0\!
Коэффициент эксцесса -\frac{6}{5}
Информационная энтропия \ln(b-a)\!
Производящая функция моментов \frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}
Характеристическая функция \frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}


Непреры́вное равноме́рное распределе́ние — в теории вероятностей - распределение случайной вещественной величины, принимающей значения, принадлежащие интервалу [a, b], характеризующееся тем, что плотность вероятности на этом интервале постоянна.

Определение[править | править вики-текст]

Говорят, что случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке [a,b]\!, где a,b\in \R, если её плотность f_X(x)\! имеет вид:


f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
{1 \over b-a}, & x\in [a,b] \\
0, & x\not\in [a,b]
\end{matrix}
\right..

Пишут: X \sim U[a,b]. Иногда значения плотности в граничных точках x=a\! и x=b\! меняют на другие, например 0\! или \frac{1}{2(b-a)}\!. Так как интеграл Лебега от плотности не зависит от поведения последней на множествах меры нуль, эти вариации не влияют на вычисления связанных с этим распределением вероятностей.

Функция распределения[править | править вики-текст]

Интегрируя определённую выше плотность, получаем:


F_X(x) \equiv \mathbb{P}(X \le x) = \left\{
\begin{matrix}
0, & x < a \\
{x-a \over b-a}, & a \leq x < b \\
1, & x \ge b
\end{matrix}
\right..

Так как плотность равномерного распределения разрывна в граничных точках отрезка [a,b]\!, то функция распределения в этих точках не является дифференцируемой. В остальных точках справедливо стандартное равенство:

\frac{d}{dx} F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \R \setminus \{a,b\}.

Производящая функция моментов[править | править вики-текст]

Простым интегрированием получаем производящую функцию моментов:

M_X(t) = \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)},

откуда находим все интересующие моменты непрерывного равномерного распределения:

\mathbb{E}\left[X\right] = \frac{a+b}{2},
\mathbb{E}\left[X^2\right] = \frac{a^2+ab+b^2}{3},
\operatorname{D}\left[X\right] = \frac{(b-a)^2}{12}.

Вообще,

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n{a^k b^{n-k}}=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{(b-a)(n+1)}.

Стандартное равномерное распределение[править | править вики-текст]

Если a = 0\! и b=1\!, то есть X \sim U[0,1], то такое непрерывное равномерное распределение называют стандартным.

Имеет место элементарное утверждение:

Если случайная величина X \sim U[0,1] и Y = a+(b-a)X\!, то Y \sim U[\min(a,b),\max(a,b)]\!.

Таким образом, имея генератор случайной выборки из стандартного непрерывного равномерного распределения, легко построить генератор выборки любого непрерывного равномерного распределения.

Более того, имея такой генератор и зная функцию обратную к функции распределения случайной величины, можно построить генератор выборки любого непрерывного распределения (не обязательно равномерного) с помощью метода обратного преобразования. Поэтому стандартно равномерно распределённые случайные величины иногда называют базовыми случайными величинами.

См. также[править | править вики-текст]


Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами |Парето | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула