Равновесие дрожащей руки

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Равновесие дрожащей рукипринцип оптимальности в некооперативных играх, представляющий собой равновесие Нэша, обладающее дополнительным свойством устойчивости к достаточно малым отклонениям игроков от равновесных стратегий. Сформулировано Р. Зелтеном в 1975 г. в работе [1].

Формальное определение[править | править исходный текст]

Пусть задана игра в нормальной форме \Gamma = <I, \{X_i\}_{i \in I}, \{H_i\}_{i \in I}>. Набор смешанных стратегий игроков q называется равновесием дрожащей руки, если существует такая последовательность вполне смешанных стратегий {pε} → q, что стратегия qi является наилучшим ответом игрока i на стратегии остальных игроков из набора pε.

Как и равновесие Нэша, равновесие дрожащей руки существует в смешанном расширении в любой некооперативной игре с конечными множествами стратегий игроков.

Пример[править | править исходный текст]

Приведенная игра двух лиц в нормальной форме имеет два равновесия Нэша: (Верх, Лево) and (Низ, Право). Однако, только (В, Л) является равновесием дрожащей руки.

Лево Право
Верх 1, 1 2, 0
Низ 0, 2 2, 2

Действительно, предположим, что игрок 1 использует смешанную стратегию (1-\epsilon, \epsilon), для некоторого  0<\epsilon <1. Ожидаемый выигрыш игрока 2, если он играет Лево, составит:

1(1-\epsilon) + 2\epsilon = 1+\epsilon.

Ожидаемый выигрыш игрока 2 при выборе стратегии Право составит:

0(1-\epsilon) + 2\epsilon = 2\epsilon.

Для достаточно малых значений ε, игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, используя стратегию Право с минимальным весом. Аналогично, игрок 1 должен использовать с минимальным весом стратегию Низ, если игрок 2 использует смешанную стратегию (1-\epsilon, \epsilon). Следовательно, (В, Л) является равновесием дрожащей руки.

Аналогичные рассуждения не выполняются для профиля стратегий (Н, П). Действительно, предположим, что игрок 1 использует смешанную стратегию (\epsilon, 1-\epsilon). Ожидаемый выигрыш игрока 2, если он использует Л, составит:

1\epsilon + 2(1-\epsilon) = 2-\epsilon.

Ожидаемый выигрыш игрока 2 при использовании стратегии П:

0(\epsilon) + 2(1-\epsilon) = 2-2\epsilon.

В этом случае для любых положительных значений ε, игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, используя П с минимальной частотой. Следовательно, (Н, П) не является равновесием дрожащей руки, так как при небольшой вероятности ошибок игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, отклоняясь от данной стратегии.

Ссылки[править | править исходный текст]

  1. Selten, R. (1975). «A reexamination of the perfectness concept for equilibrium points in extensive games». International Journal of Game Theory 4: 25-55.

Литература[править | править исходный текст]

  • Зелтен, Р., Харшаньи, Д. Общая теория выбора равновесия в играх. — СПб.: Экономическая школа, 2001.
  • Печерский, С.Л., Беляева, А.А. Теория игр для экономистов. Вводный курс. (Учебное пособие) — СПб.: Изд-во Европейского университета, 2001.
  • Selten, R. Evolutionary stability in extensive two-person games // Math. Soc. Sci. — 1983. — Vol. 5. — P. 269-363.
  • Selten, R. Evolutionary stability in extensive two-person games — correction and further development // Math. Soc. Sci. — 1988. — Vol. 16. — P. 223-266.