Радикальная ось двух окружностей

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Радикальная ось двух пересекающихся окружностей

Радика́льная ось двух окружностей — геометрическое место точек, степени которых относительно двух заданных окружностей равны. Радикальная ось двух окружностей существует тогда и только тогда, когда окружности неконцентрические, и может быть определена как для окружностей, так и для точек (окружностей нулевого радиуса) и мнимых окружностей (мнимого радиуса).

Свойства радикальной оси[править | править вики-текст]

  • Радикальная ось является прямой. Поскольку степень точки относительно окружности равна x^2 + y^2 + Ax + By + C, где коэффициенты A, B и C определяются через координаты центра и радиус окружности, то, приравняв степени точки относительно двух окружностей, получим x^2 + y^2 + A_1x + B_1y + C_1 = x^2 + y^2 + A_2x + B_2y + C_2 \Leftrightarrow (A_1-A_2)x + (B_1-B_2)y + (C_1-C_2) = 0, а это уравнение прямой. Существует также доказательство этого факта с использованием только геометрических методов.
  • Радикальная ось перпендикулярна линии центров, что следует из симметричности обеих окружностей относительно линии центров.
  • Если P — точка на радикальной оси, то длины касательных из точки P к обеим окружностям равны — это следует из того, что степень точки равна квадрату длины отрезка касательной. В частности, радикальная ось делит пополам отрезки общих касательных.
Расширяющиеся окружности точек степени d относительно каждой из двух начальных окружностей и точки, принадлежащие радикальной оси (жёлтые).
  • Если окружности пересекаются в двух точках, то их радикальной осью будет прямая, проходящая через эти точки, если они касаются внешним образом — то радикальной осью будет общая внутренняя касательная, если внутренним — то общая касательная (единственная).
Построение радикальной оси двух окружностей
  • Если прямые, содержащие хорды AB и CD первой и второй окружности соответственно пересекаются на радикальной оси, то четырёхугольник ABCD вписанный. Это несложно доказать: пусть P — точка пересечения. По свойству степени точки, она равна PA \cdot PB, а так как P лежит на радикальной оси, то она равна и PC \cdot PD. Так как PA \cdot PB = PC \cdot PD, то точки A, B, C и D лежат на одной окружности. Верно и обратное: если две окружности пересечь третьей так, что AB — общая хорда первой и третьей, а CD — общая хорда второй и третьей, то прямые AB и CD пересекутся на радикальной оси первых двух окружностей, причём в так называемом радикальном центре трёх окружностей (см. ниже). На этом свойстве основано построение радикальной оси циркулем и линейкой: построим окружность, пересекающую две данные в четырёх точках, а затем опустим из их радикального центра перпендикуляр на линию центров.
Радикальный центр трёх окружностей
  • Радикальные оси трёх окружностей с неколлинеарными центрами пересекаются в одной точке, называемой радикальным центром. Пусть \Omega_1, \Omega_2, \Omega_3 — окружности, а P — точка пересечения радикальной оси окружностей \Omega_1 и \Omega_2 с радикальной осью окружностей \Omega_2 и \Omega_3. Если \mathfrak P(\omega,A) — степень точки A относительно окружности \omega, то по определению радикальной оси \mathfrak P(\Omega_1,P) = \mathfrak P(\Omega_2,P) = \mathfrak P(\Omega_3,P), и точка P лежит на радикальной оси окружностей \Omega_1 и \Omega_3
  • Геометрическое место центров окружностей, ортогональных двум данным, есть их радикальная ось с исключённой общей хордой (если она есть).
  • Антигомологические хорды двух окружностей пересекаются на их радикальной оси.
  • Пусть ABCD — четырёхугольник, прямые AB и CD пересекаются в точке F, BC и AD — в E. Тогда окружности, построенные на отрезках AC, BD и EF, как на диаметрах, имеют общую радикальную ось, на которой лежат точки пересечения высот треугольников ABE, CDE, BCF и ADF (прямая Обера — Штейнера).

Следствия из свойств радикальной оси[править | править вики-текст]

  • На прямой, проходящей через точки касания двух вневписанных окружностей треугольника с его сторонами, эти вневписанные окружности высекают равные отрезки.
  • Диагонали описанного около окружности шестиугольника, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (теорема Брианшона для окружности).

Ссылки[править | править вики-текст]